2018届二轮复习概率与统计类解答题课件（全国通用） 28页

高考大题 · 规范答题示范课 ( 六 ) 概率与统计类解答题 【 命题方向 】 1. 概率与统计的综合问题：与统计问题相结合考查概率及离散型随机变量分布列的求法 . 2. 概率与统计的实际应用：以现实生活为背景，考查概率、相互独立事件、互斥事件、离散型随机变量的分布列与期望值等，为作出决策提供正确依据 . 【 典型例题 】 (12 分 )(2016· 全国卷 Ⅰ) 某公司计划购买 2 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件， 每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个 易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . (1) 求 X 的分布列 . (2) 若要求 P(X≤n)≥0.5 ，确定 n 的最小值 . (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？ 【 题目拆解 】 本题可拆解成以下几个小问题： (1)① 确定随机变量 X 的取值； ②计算随机变量取值的概率 . (2) 确定 n 的最小值 . (3)① 分别计算 n=19 ， n=20 时所需费用； ②比较作出决策 . 【 标准答案 】 (1) 每台机器更换的易损零件数为 8 ， 9 ， 10 ， 11 ，记 事件 A i 为第一台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 (i=1 ， 2 ， 3 ， 4) ，记事件 B i 为第二台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 (i=1 ， 2 ， 3 ， 4) ， …1 分　得分点① 由题知 P(A 1 )=P(A 3 )=P(A 4 )=P(B 1 )=P(B 3 )=P(B 4 )=0.2 ， P(A 2 )=P(B 2 )=0.4. …1 分　得分点② 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ，则 X 的可能的取值为 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 ， …1 分　得分点③ P(X=16)=P(A 1 )P(B 1 )=0.2×0.2=0.04 ， …1 分　得分点④ P(X=17)=P(A 1 )P(B 2 )+P(A 2 )P(B 1 )=0.2×0.4+0.4× 0.2=0.16 ， …1 分　得分点⑤ P(X=18)=P(A 1 )P(B 3 )+P(A 2 )P(B 2 )+P(A 3 )P(B 1 )=0.2× 0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24 ， P(X=19)=P(A 1 )P(B 4 )+P(A 2 )P(B 3 )+P(A 3 )P(B 2 )+ P(A 4 )P(B 1 )=0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4+0.2× 0.2=0.24 ， P(X=20)=P(A 2 )P(B 4 )+P(A 3 )P(B 3 )+P(A 4 )P(B 2 )=0.4× 0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2 ， P(X=21)=P(A 3 )P(B 4 )+P(A 4 )P(B 3 )=0.2×0.2+0.2× 0.2=0.08 ， P(X=22)=P(A 4 )P(B 4 )=0.2×0.2=0.04. …2 分　得分点⑥ 所以 X 的分布列为 …1 分　得分点⑦ X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 要令 P(X≤n)≥0.5 ，因为 0.04+0.16+0.24<0.5 ， 0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5 ， 则 n 的最小值为 19. …2 分　得分点⑧ (3) 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器 时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买 的费用， 当 n=19 时，费用的期望为 19×200+500×0.2+1 000 ×0.08+1 500×0.04=4 040 ， 当 n=20 时，费用的期望为 20×200+500×0.08+1 000 ×0.04=4 080. 所以应选用 n=19. …2 分　得分点⑨ 【 评分细则 】 第 (1) 问踩点说明 ( 针对得分点①②③④⑤⑥⑦ ) ： ①正确表示出两台机器 3 年内换掉零件的事件得 1 分； ②写出各事件概率得 1 分； ③写出随机变量 X 的取值得 1 分； ④正确求出 X=16 的概率得 1 分； ⑤正确求出 X=17 的概率得 1 分； ⑥依次求出 X=18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 的概率得 2 分； ⑦写出随机变量的分布列得 1 分 . 第 (2) 问踩点说明 ( 针对得分点⑧ ) ： ⑧ 计算概率之和与 0.5 比较得出结论得 2 分； 第 (3) 问踩点说明 ( 针对得分点⑨ ) ： ⑨分别计算并比较 n=19 ， n=20 时的期望，得出结论得 2 分 . 【 高考状元满分心得 】 1. 正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第 (1) 问就是求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量 X 的取值及正确求其概率 . 2. 注意利用第 (1) 问的结果：在题设条件下，如果第 (1) 问的结果第 (2) 问能用得上，可以直接用，有些题目不用第 (1) 问的结果甚至无法解决，如本题即是在第 (1) 问的基础上利用分布列求概率之和来求解 . 3. 注意将概率求对：与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的概率是关键 . 本题第 (1) 问，要做到：一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性 . 【 跟踪训练 】 (12 分 )(2016· 全国卷 Ⅱ) 某险种的基本保费为 a( 单位： 元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的 本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保　费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 . (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率 . (3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 . 【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题： ①求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； ②求保费比基本保费高出 60% 的概率； ③求平均保费； ④求平均保费与基本保费的比值 . 【 规范解答 】 (1) 设续保人本年度的保费高于基本 保费为事件 A ， P(A)=1-P( )=1-(0.30+0.15)=0.55. (2) 设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ， (3) 设本年度所交保费为随机变量 X. X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 E(X)=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20 +1.75a×0.10+2a×0.05 =0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a ， 所以平均保费与基本保费比值为 1.23.