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- 2021-06-11 发布
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单元检测一 集合与常用逻辑用语
(时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列关系正确的是( )
A.0∈∅ B.∅{0}
C.∅={0} D.∅∈{0}
答案 B
解析 对于B,因为空集是任何非空集合的真子集,而集合{0}不是空集,所以∅{0}正确,故选B.
2.设集合M={-1,1},N=,则下列结论正确的是( )
A.N⊆M B.M⊆N
C.N∩M=∅ D.M∩N=R
答案 B
解析 由<2,得<0,所以x(1-2x)<0,
解得x<0或x>,则M⊆N,故选B.
3.(2018·杭州高级中学模拟)已知原命题:已知ab>0,若a>b,则<,则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( )
A.0B.2C.3D.4
答案 D
解析 若a>b,则-=,又ab>0,
∴-<0,∴<,∴原命题是真命题;
若<,则-=<0,又ab>0,
∴b-a<0,∴b1时,|a-1|+|a|=2a-1≤1,解得a≤1,无解.
故不等式的解集是a∈[0,1].
若函数y=ax在R上为减函数,则a∈(0,1).
故“|a-1|+|a|≤1”是“函数y=ax在R上为减函数”的必要不充分条件.
8.若集合P={0,1,2},Q=,则集合Q中元素的个数是( )
A.4B.6C.3D.5
答案 D
解析 Q={(x,y)|-10,∴x>2或x<-1,∵p是q的充分不必要条件,
∴k>2,故选B.
10.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.(1,+∞)
答案 B
解析 集合A={x|x<-3或x>1},
设f(x)=x2-2ax-1,
因为a>0,所以f(-3)=8+6a>0,
则由题意得,f(2)≤0且f(3)>0,
即4-4a-1≤0,且9-6a-1>0,
∴≤a<,
∴实数a的取值范围是.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)
11.用列举法表示集合:A==____________;A的子集个数为________.
答案 {-3,-2,0,1} 16
解析 因为∈Z,x∈Z,所以x+1=±1或±2,所以x=0或-2或1或-3,子集个数为24=16.
12.(2018·温州模拟)已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B=,则A∪B
=____________,A∩B=____________.
答案 (-1,+∞)
解析 解得A={x|-10对n∈N*恒成立,
即2n+1+t>0,t>-(2n+1)对n∈N*恒成立,
所以t>[-(2n+1)]max=-3.
由函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增,
得k=0,t>0或k>0,≤1,即t≥-2k.
因为“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,
所以k>0,-2k≤-3,
即k≥,kmin=.
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(14分)(2018·宁波模拟)已知集合A={x|x2+ax-2a2≤0}.
(1)当a=1时,求集合∁RA;
(2)若[-1,1]⊆A,求实数a的取值范围.
解 不等式x2+ax-2a2≤0可化为(x+2a)(x-a)≤0.
(1)当a=1时,∁RA={x|(x+2)(x-1)>0},
即∁RA={x|x<-2或x>1}.
(2)方法一 当a≥0时,A={x|-2a≤x≤a},
因为[-1,1]⊆A,所以解得a≥1.
当a<0时,A={x|a≤x≤-2a},
因为[-1,1]⊆A,所以解得a≤-1.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
方法二 原题等价于f(x)=x2+ax-2a2≤0在x∈[-1,1]上恒成立,
所以
即
解得a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
19.(15分)(2019·丽水模拟)已知集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x2-4x+3≤0},U=R.
(1)若a=1,求A∪B,∁UB;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
解 (1)a=1时,A={x|0≤x≤2},
B={x|1≤x≤3},
A∪B={x|0≤x≤3},
∁UB={x|x>3或x<1}.
(2)因为A∩B=A,所以A⊆B,
当A=∅时,1+a<1-a,解得a<0;
当A≠∅时,解得a=0.
综上得a≤0.
20.(15分)(2018·浙江名校协作体联考)已知A={x|y=lg(3-2x-x2)},B=,C={x|y=,a<0}.
(1)求A∩B;
(2)若(A∩B)⊆C,求实数a的取值范围.
解 (1)A=(-3,1),B=[-2,2],A∩B=[-2,1).
(2)根据题意,对于集合C满足ax2-(a+1)x+1
=(ax-1)·(x-1)≥0,
又∵a<0,∴C=,
∵(A∩B)⊆C,∴≤-2,∴-≤a<0.
综上,实数a的取值范围是.
21.(15分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,如果p和q有且仅有一个真命题,求实数x的取值范围.
解 (1)由命题p:(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5.
命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
∵p是q的充分条件,
∴[-1,5]⊆[1-m,1+m),
∴解得m>4,
则实数m的取值范围为(4,+∞).
(2)∵m=5,∴命题q:-4≤x<6.
∵p和q有且仅有一个为真命题,
∴当p真q假时,可得解得x∈∅.
当q真p假时,可得
解得-4≤x<-1或52时,不等式的解为2≤x≤a,
对应的解集为B={x|2≤x≤a};
当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,
对应的解集为B={x|a≤x≤2}.
若p是q的必要不充分条件,则BA,
当a=2时,满足条件;
当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},
要使BA,则满足2