- 1.25 MB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
课时提升卷(三)
三个正数的算术-几何平均不等式
(45 分钟 100 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)
1.设 x,y,z∈R+且 x+y+z=6,则 lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( )
A.(-∞,lg6] B.(-∞,3lg2]
C.[lg6,+∞) D.[3lg2,+∞)
2.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x2y=2,则 xy+x2 的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 + + 的最小值为 ( )
A.9 B.8 C.3 D.
4.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为 ( )
A.3 B.2 C.12 D.12
5.当 0≤x≤ 时,函数 y=x2(1-5x)的最大值为 ( )
A. B. C. D.无最大值
6.设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,若 M= · · ,则必有 ( )
A.0≤M< B. ≤M<1
C.1≤M<8 D.M≥8
二、填空题(每小题 8 分,共 24 分)
7.若 x>0,y>0 且 xy2=4,则 x+2y 的最小值为 .
8.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a*b= ,则两边均
含有运算“*”和“+”,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以
是 .
9.( 2013·扬州高二检测)设正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 + + 的最小
值为 .
三、解答题(10~11 题各 14 分,12 题 18 分)
10.求函数 f(x)=x(5-2x)2 的最大值.
11.(2013·常州高二检测)已知 x,y 均为正数,且 x>y,
求证:2x+ ≥2y+3.
12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个
全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求
这个正六棱柱容器容积的最大值.
答案解析
1.【解析】选 B.因为 x,y,z∈R+,
所以 6=x+y+z≥3 ,即 xyz≤8,
所以 lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2.
2.【解析】选 C.xy+x2= xy+ xy+x2≥
3 =3 =3,
当且仅当 xy=x2 时,等号成立.
3.【解析】选 A.因为 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,
所以 a+b+c≥3 ,所以 00,4y>0,8z>0,
所以 2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3
=3 =3×4=12.
当且仅当 2x=22y=23z,
即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时取等号.
5.【解析】选 C.y=x2(1-5x)= x2 = x·x· .因为 0≤x≤ ,所以 -2x
≥0,
所以 y≤ = ,
当且仅当 x= -2x,即 x= 时,ymax= .
6.【解析】选 D.M=
= ≥ =8,
当且仅当 a=b=c 时等号成立.
7.【解析】由 xy2=4,得 x+2y=x+y+y≥3 =3 =3 ,当且仅当 x=y= 时
等号成立.
答案:3
8.【解析】由题意知 a+(b*c)=a+ = ,
(a+b)*(a+c)= = ,
所以 a+(b*c)=(a+b)*(a+c).
答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c)
9.【解析】因为 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,
所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
于是 [(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)]≥3 ·
3 =9,
当且仅当 a=b=c= 时等号成立,
即 + + ≥1,故 + + 的最小值为 1.
答案:1
10.【解析】f(x)=x(5-2x)2= ×4x(5-2x)(5-2x)
≤ = .
当且仅当 4x=5-2x,即 x= 时,等号成立.
所以函数的最大值是 .
【拓展提升】用平均不等式求最值
利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条
件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知
条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计
为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式
求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式
的情境及能使等号成立的条件.
当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出
最值.
11.【证明】因为 x>0,y>0,x-y>0,
2x+ -2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3 =3,
所以 2x+ ≥2y+3.
12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.
【解析】设正六棱柱容器底面边长为 x(x>0),高为 h,
由图(3)可有 2h+ x= ,
所以 h= (1-x),V=S 底·h=6× x2·h= x2· ·(1-x)=2 × × × ×(1-x)
≤9× = .
当且仅当 =1-x,即 x= 时,等号成立.
所以当底面边长为 时,正六棱柱容器容积最大,为 .
关闭 Word 文档返回原板块。