数学卷·2018届河北省保定市徐水一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（　　）‎ A．i≥10？ B．i≥11？ C．i≤11？ D．i≥12？‎ ‎2．要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（　　）‎ A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43‎ C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32‎ ‎3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　）‎ A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，8‎ ‎4．已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得（x，y）的四组值分别是（2，3）、（5，7）、（8，9）、（11，13），则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（　　）‎ A．（2，3） B．（8，9） C．（6，9） D．（6.5，8）‎ ‎5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎6．大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（　　）‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎8．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎12．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是　　．‎ ‎13．若x1，x2，x3，…，x2008，x2009，的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2）…，3（x2008﹣2），3（x2009﹣2）的方差为　　．‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　　．‎ ‎15．若双曲线的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．‎ ‎17．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为些作了四次试验，得到的数据如下表所示：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）求出y关于x的线性回归方程=+，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎（Ⅱ）试预测加工10个零件需要多少时间？b==， =﹣， =， =．‎ ‎19．某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活动，其中每个人被选中的可能性均相等．‎ ‎（I）列出所有可能的选取结果；‎ ‎（II）求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率；‎ ‎（Ⅲ）求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（　　）‎ A．i≥10？ B．i≥11？ C．i≤11？ D．i≥12？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．‎ ‎【解答】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，‎ 由于12×11=132，故此循环体需要执行两次 所以每次执行后i的值依次为11，10‎ 由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意 故选B ‎　‎ ‎2．要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（　　）‎ A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43‎ C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若采用系统抽样，则抽样间隔为50÷5=10，‎ 故只有B满足条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　）‎ A．84，4.84 B．84，16 C．85，1.6 D．85，8‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，‎ 所以所剩数据的平均数为（84+84+86+84+87）=85，‎ 所剩数据的方差为 [（84﹣85）2+（84﹣85）2+86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]= =1.6．‎ 故答案为 C ‎　‎ ‎4．已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得（x，y）的四组值分别是（2，3）、（5，7）、（8，9）、（11，13），则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（　　）‎ A．（2，3） B．（8，9） C．（6，9） D．（6.5，8）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意可得： ==6.5．‎ ‎==8．‎ 样本中心坐标（6，8）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．‎ ‎【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，‎ q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，‎ 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 ‎“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．‎ 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，利用列举法求出基本事件总数和甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景区的概率．‎ ‎【解答】解：大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，‎ 基本事件总数有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙），‎ 共6个基本事件，‎ 其中，甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含两个基本事件，‎ ‎∴甲、乙被安排到不同景区的概率：‎ p=1﹣=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（　　）‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．‎ ‎【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．‎ ‎【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，‎ ‎∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ‎∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离 由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．‎ 故选A ‎　‎ ‎8．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．‎ ‎【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵△AF1B的周长为4，‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，‎ ‎∴4a=4，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵离心率为，‎ ‎∴，c=1，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型；简单线性规划．‎ ‎【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．‎ ‎【解答】解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域 Ω=‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A=‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P（A）==1﹣=‎ 故选A ‎　‎ ‎11．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e==．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎12．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是　∃x∈R，sinx＞1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．‎ ‎【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定 命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．‎ 故答案为：∃x∈R，sinx＞1．‎ ‎　‎ ‎13．若x1，x2，x3，…，x2008，x2009，的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2）…，3（x2008﹣2），3（x2009﹣2）的方差为　27　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】由已知中x1，x2，x3，…，x2009的方差为3，根据一组数据同时减小2，数据的方差不变，求出（x1﹣2），（x2﹣2），（x3﹣2），…，（x2009﹣2）的方差，进而根据一组数据扩大a倍，则方差扩大a2倍，得到3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2009﹣2）的方差；‎ ‎【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x2009的方差为3‎ ‎∴（x1﹣2），（x2﹣2），（x3﹣2），…，（x2009﹣2）的方差为3；‎ ‎∴3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2009﹣2）的方差为27；‎ 故答案为：27；‎ ‎　‎ ‎14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．‎ ‎【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，‎ ‎∵=＜2，∴（3，1）在圆内，‎ ‎∵圆心到此点的距离d=，r=2，‎ ‎∴最短的弦长为2=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．若双曲线的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是　1＜e≤2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义．‎ ‎【分析】先根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时， =2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．‎ ‎【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．‎ ‎∴a=|PF2|，|PF1|=3a 在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，‎ ‎2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，‎ ‎∴＜2，‎ 当p为双曲线顶点时， =2‎ 又∵双曲线e＞1，‎ ‎∴1＜e≤2‎ 故答案为：1＜e≤2．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，由题设知圆心C（3a，a），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程．‎ ‎【解答】解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，‎ ‎∵圆心C在直线x﹣3y=0上，∴圆心C（3a，a），又圆 与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y﹣x=0的距离．‎ 在Rt△CBD中，，‎ ‎∴9a2﹣2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．‎ ‎∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），‎ 故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．‎ ‎　‎ ‎17．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），‎ ‎∴由题意得，‎ 解得a=2，b=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），‎ 由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，‎ ‎△=96﹣8m2＞0，‎ ‎∴﹣2＜m＜2，‎ ‎∵x0==﹣，‎ ‎∴y0=x0+m=，‎ ‎∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴（﹣）2+（）2=1，‎ ‎∴m=±．‎ ‎　‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为些作了四次试验，得到的数据如下表所示：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）求出y关于x的线性回归方程=+，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎（Ⅱ）试预测加工10个零件需要多少时间？b==， =﹣， =， =．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）由表中数据求出，，，，进而求出b，a，由此能出y关于x的线性回归方程=+，并在坐标系中画出回归直线．‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程，能预测加工10个零件需要的时间．‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据解得：‎ ‎=（2+3+4+5）=3.5，‎ ‎=（2.5+3+5+4.5）=3.5，‎ ‎=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.4，‎ ‎=22+32+42+52=54，‎ ‎∴==0.7， =﹣=1.05，‎ ‎∴y=0.7x+1.05，‎ 在坐标系中画出回归直线如右图：‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程主y=0.7×10+1.05=8.05‎ ‎∴预测加工10个零件需8.05小时．‎ ‎　‎ ‎19．某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活动，其中每个人被选中的可能性均相等．‎ ‎（I）列出所有可能的选取结果；‎ ‎（II）求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率；‎ ‎（Ⅲ）求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）给2名文科同学和4名理科同学编号，然后直接列举出从2名文科生和4名理科生中选出4名同学的所有方法；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中所列举的所有基本事件中，查出被选中的4名同学恰有2名文科生的方法种数，则概率可求；‎ ‎（Ⅲ）明确被选中的4名同学中至少有1名文科生的意思，利用对立事件的概率即可求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6．‎ 从2名文科生和4名理科生中选出4名同学的所有方法种数为（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），‎ ‎（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6），（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），‎ ‎（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），（3，4，5，6）共15种；‎ ‎（Ⅱ）被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有：（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），‎ ‎（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6）共6种，‎ 记“被选中的4名同学恰有2名文科生”为事件A，‎ 则P（A）=；‎ ‎（Ⅲ）记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，‎ 则事件B包括有1名文科生或者2名文科生这两种．其否定为“被选中的4名同学中没有文科生”，‎ 只有一种结果（3，4，5，6）．‎ ‎∵，‎ ‎∴P（B）1﹣．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1）B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以AB为直径的圆过坐标原点，则有•=0即为x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由两直线垂直的条件，解方程可得k，进而得到所求直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得e==，且+=1，‎ 又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，‎ 所以椭圆C的方程是+y2=1． ‎ ‎（2）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1）B（x2，y2），‎ 联立消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，‎ 则有x1+x2=，x1x2=，‎ ‎△＞0可得4k2+1＞t2，‎ y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，‎ y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=k2•+kt•+t2=，‎ 因为以AB为直径的圆过坐标原点，‎ 所以•=0即为x1x2+y1y2=0，‎ 即为+=0，可得5t2=4+4k2，①‎ 由4k2+1＞t2，可得t＞或t＜﹣，‎ 又设AB的中点为D（m，n），则m==，n==，‎ 因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣=，可得=②‎ 由①②解得t1=1或t2=﹣，‎ 当t=﹣时，△＞0不成立．‎ 当t=1时，k=±，‎ 所以直线l的方程为y=x+1或y=﹣x+1．‎