【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）方法突破 专题八　选修4系列 5页

www.ks5u.com 专题八　选修4系列 ‎(限时:45分钟)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 极坐标与参数方程 ‎1，2,‎ 不等式选讲 ‎3，4,‎ ‎1.(2016·全国Ⅱ卷,理23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为 ‎(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,‎ ‎|AB|=,求l的斜率.‎ 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为 ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ ‎∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2.‎ 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2+12ρcos α+11=0,‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11,‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|==.‎ 由|AB|=得cos2α=,tan α=±,‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎2.(2016·陕西汉中质检)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos (θ-)=.‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设M是直线l上任意一点,过M作圆C切线,切点为A,B,求四边形AMBC面积的最小值.‎ 解:(1)圆C的参数方程为(θ为参数),‎ 所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.‎ 由ρcos (θ-)=,得ρcos θ+ρsin θ=2,‎ 因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,‎ 所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)圆心C(3,-4)到直线l:x+y-2=0的距离为 d==.‎ 由于M是直线l上任意一点,则|MC|≥d=.‎ 所以四边形AMBC面积 S=2××|AC|×|MA|‎ ‎=|AC|· ‎=2≥2 ‎=.‎ 所以四边形AMBC面积的最小值为.‎ ‎3.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(1) 求a3+b3的最小值;‎ ‎(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ 解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.‎ 故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.‎ 所以a3+b3的最小值为4.‎ ‎(2)不存在满足题意的a,b,理由:‎ 由(1)知,2a+3b≥2≥4.‎ 由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.‎ ‎4.(2016·湖南常德模拟)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<2的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤a-有解,求a的取值范围.‎ 解:(1)当x>1时,f(x)=2x+1-(x-1)=x+2,‎ 因为f(x)<2,‎ 所以x<0此时无解;‎ 当-≤x≤1时,f(x)=2x+1-(1-x)=3x,‎ 因为f(x)<2,‎ 所以x<,‎ 此时-≤x<;‎ 当x<-时,f(x)=-2x-1-(1-x)=-x-2,‎ 因为f(x)<2,‎ 所以x>-4,‎ 此时-4-;‎ 当-≤x≤1时,-≤f(x)≤3;‎ 当x>1时,f(x)>3,‎ 所以f(x)min=-,‎ 故-≤a-⇒a2-2a-3≤0⇒-1≤a≤3.‎ 所以a的取值范围为[-1,3].‎