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- 2021-06-11 发布
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课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质
基础巩固组
1.
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;
(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.
2.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,点E在AD上,且AE=2ED.
(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的43,求点E到平面PBC的距离.
〚导学号21500561〛
4.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
(1)求证:AE⊥DA1;
(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.
综合提升组
5.
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.
(1)求四棱锥F-ADEC的体积;
(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.
6.如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.
图(1)
图(2)
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为23,求四面体BCDM的体积.
7.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积.
(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.
〚导学号21500562〛
创新应用组
8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=27,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.
9.如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=2,BF=CF=2,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF.
(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;
结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;
结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.
(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.
图(1)
图(2)
〚导学号21500563〛
参考答案
课时规范练41 直线、平
面垂直的判定与性质
1.证明 (1)∵ED⊥平面ABCD,
∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.
∵AE=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE,
∴AD=BD.
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.
又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,
∵CM⊂平面CEM,
∴平面CEM⊥平面BDE.
(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,
在△EBA中,∵N为BE的中点,
∴NG∥AB且NG=12AB,
又AB∥CD,且AB=2CD,
∴NG∥CD,且NG=CD,
∴四边形CDGN为平行四边形,
∴CN∥DG.
又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.
2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为B1D⊂平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.(1)证明 ∵AB⊥AC,AB=AC,
∴∠ACB=45°.
∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,
∴∠ACD=45°,∴AD=CD,
∴BC=2AC=2AD.
∵AE=2ED,CF=2FB,
∴AE=BF=23AD,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
又AB⊥AC,∴AC⊥EF.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.
∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.
∵EF⊂平面PEF,
∴平面PEF⊥平面PAC.
(2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,
∴PB=PC,
取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.
设PA=x,连接PG,则PG=x2+1,
∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的43倍,
∴12×2×PG=43×12×(1+2)×1,即PG=2,求得x=3,
∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,
∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,
∴点E到平面PBC的距离为12PA=32.
4.(1)证明 连接AD1,BC1(图略).
由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,
又AB∩AD1=A,
∴DA1⊥平面ABC1D1.
∵AE⊂平面ABC1D1,
∴AE⊥DA1.
(2)解 所求点G即为点A1,证明如下:
由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,
可得DF⊥平面AHE.
∵AE⊂平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,
即AE⊥平面DFG.
5.解 (1)∵D,E分别是AB,BC边的中点,
∴DE