2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 20页

‎2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是（ ）‎ A．若是偶数,则与不都是偶数 B．若是偶数,则与都不是偶数 C．若不是偶数,则与不都是偶数 D．若不是偶数,则与都不是偶数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数 ‎【考点】四种命题 ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据抛物线的方程，求得其开口方向，以及，即可其准线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线，可知，且开口向上，‎ 所以其准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程的形式和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是（ ）‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】根据直线与平面的位置关系，可判定A，利用线面垂直的性质，可判定B；根据线面垂直的性质和直线与平面的位置关系，可判定C、D，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，若,则与相交、平行或异面，所以不正确；‎ 对于B中，若,根据线面垂直的性质可知是正确的；‎ 对于C中，若,则与平行、相交或在平面内，所以不正确；‎ 对于D中，若，则与的位置关系不确定，所以不正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中线面位置关系的判定定理和线面垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎4．命题,则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据特称命题与全称命题的关系互为否定关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据特称命题与全称命题的关系，可知命题,‎ 则为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题与全称命题的关系，其中熟记特称命题与全称命题互为否定关系，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．若两个向量,则平面的一个法向量为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设平面ABC的法向量为，‎ 则，即，令，则，‎ 即平面ABC的一个法向量为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知是双曲线的两个焦点,且直线是该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由是双曲线的两个焦点，则，又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，根据，求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，是双曲线的两个焦点，则，且焦点在x轴上，‎ 又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，‎ 因为，即，解得，‎ 所以此双曲线的标准方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程的形式，以及几何性质性质的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．某组合体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体分为上下两部分，其中上半部分是一个底面是边长为4的正方形，高为2的一个正四棱柱，下半部分是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱所构成的一个组合体，在根据棱柱和圆柱的侧面积和表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体分为上下两部分，其中上半部分是一个底面是边长为4的正方形，高为2的一个正四棱柱，下半部分是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱所构成的一个组合体，‎ 设正方体的表面为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为 所以该几何体的表面积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体的三视图的应用，以及组合体的表面积的计算问题，其中解答中根据给定的几何体的三视图，换元得出原几何体的形状，再利用公式求解是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．与直线垂直且过点的直线在轴上的截距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，直线的斜率为，得到直线的斜率为，由直线的点斜式方程，求得直线的方程，进而可求解直线在轴上的截距，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，‎ 又由所求直线 过点，由直线的点斜式方程可得，即，‎ 令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两条直线的位置关系应用，以及直线在坐标轴上的截距，其中解答中熟记两直线的位置关系的合理应用，利用点斜式方程求解所求直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．设分别是椭圆的左右焦点,圆与椭圆在第一象限交于点,若,则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，得到，由椭圆的定义，联立方程组解得，再由由勾股定理可得，代入整理求得，进而求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，因为，所以，‎ 由椭圆的定义可得，‎ 联立方程组 ，解得 ‎ 又由勾股定理可得，代入可得，‎ 整理得，即，即，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义及其几何性质的应用，其中解答中根据椭圆的定义，求得，在圆的性质，联立方程组求得是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎10．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，根据等边三角形的性质，求得球的半径，利用体积公式，求得球的体积，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，‎ 根据中心（重心）的性质可得，球的半径为，‎ 所以球的体积为，‎ 即溢出溶液的体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了有关球的组合体，及球的体积的计算问题，其中解答中根据作出组合体的轴截面，利用正三角形的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎11．已知点在圆上,则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，设，转化为当直线与有交点时，根据圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，整理得，‎ 又由圆的圆心坐标为，半径为，‎ 当直线与有交点时，则满足，解得，即的最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率公式，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把目标函数的最值问题，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离和半径的关系，列出不等式求解是解答是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎12．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（ ）‎ ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，‎ 由，可得，‎ 由，则，解得，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得 ，‎ 即，‎ 所以截面的周长为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，命题,,因为是的必要不充分条件,即，根据集合的包含关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，命题,,因为是的必要不充分条件,即，则，解得，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了必要不充分条件的应用，以及集合包含关系的应用，其中解答中根据题意得出集合是集合的子集，根据集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14．已知直线与直线互相垂直,则实数=________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】根据两条直线互相垂直，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线与直线互相垂直,‎ 则，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解参数问题，其中解答中熟记两直线的位置关系，合理、准确列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知直线,则点关于直线对称的点的坐标为___.‎ ‎【答案】(1,2)‎ ‎【解析】由题意，根据点关于直线的对称，根据斜率之积等于-1和中点在对称直线上，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设点关于直线的对称点为，‎ 则满足，解得，即对称点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点关于直线的对称点问题，其中解答中根据斜率之积等于和两点的中点满足对称直线的方程，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．若直线与双曲线（）的右支有两个不同的交点,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，联立方程组，根据直线与双曲线的右支有两个不同的交点，根据根与系数的关系，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，联立方程组，整理得，‎ 要使得直线与双曲线（）的右支有两个不同的交点,‎ 则满足 ，因为，解得，‎ 又由双曲线的渐近线的方程为，‎ 所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和曲线的方程联立方程组，根据二次方程根与系数的关系，列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知方程表示圆;方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎（2）若“”为假,“”为真,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）整理圆的方程：，根据，即可求解；‎ ‎（2）根据椭圆的标准方程，求得为真时，，再根据一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）整理圆的方程： ‎ 若为真，则 ‎ ‎（2）若为真，则 由题可知，一真一假 故“真假”时， ‎ 则 ‎“真假”时， ‎ 则 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知直线：与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为.‎ ‎（1）求直线的方程（结果用一般式表示）;‎ ‎（2）求圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）（2） 或 ‎【解析】（1）根据直线的方程，分别求得直线在坐标轴上的截距，利用围成的三角形的面积，列出方程，即可求解得值，得到直线的方程；‎ ‎（2）设所求圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在直线方程中，令，得 令，得 ‎ 故 又 故 ‎∴所求直线方程为： ‎ ‎（2）设所求圆的标准方程为：‎ 由题可知 ‎ 联立求解得： ‎ 故所求圆的标准方程为： 或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，以及利用待定系数法求解圆的方程，其中解答中合理根据题设条件，利用待定系数法，列出相应的方程（组）求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎19．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见证明；(2|)见解析 ‎【解析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；‎ ‎（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，在面面平行的判定定理，即可得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 ‎ 故 ‎∵面 ‎ ‎∴面 ‎（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 ‎ 理由如下：由点分别为中点可得：‎ ‎ ‎ ‎∵面 ‎∴面 ‎ 由（1）可知，面 且 故面面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎20．在平面直角坐标系中,点,动点在轴上投影为点,且.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程;‎ ‎（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点,若,求直线的方程（结果用斜截式表示）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，利用向量的运算，化简得∵，再根据向量的数量积的运算公式，即可求解. ‎ ‎（2）设所求直线方程为，联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，求得 ‎，再联立方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知，点 ‎∵‎ ‎∴ 即 ‎ ‎（2）设所求直线方程为： 代入抛物线方程，消去得： ‎ 若设点，‎ 则 ………① ‎ 又 故 ……… ② ‎ 联立求解①②得：‎ 或 故直线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，合理利用二次方程的根与系数的关系，以及题设条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21．如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且 ‎（1）证明：面面;‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】方法一：（1）由题意，得出，再由菱形的性质，求得，由线面垂直的判定定理，证得面，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面面；‎ ‎（2）连接OE,证得，得到是二面角的平面角，在中，即可求解.‎ 法二：（1）以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据，得面，在面面垂直的判定定理，证得面面；‎ ‎（2）分别求得平面和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵面 ‎∴ ‎ ‎∵在菱形中，‎ 且 ‎∴面 故面面 ‎（2）连接，则面面 故在面内的射影为 ‎∵‎ ‎∴ ‎ 又由（1）可得，‎ 故是二面角的平面角 菱形中，,‎ ‎∴,‎ 又 所以 故 ‎∴ 即二面角的余弦值为 ‎ 法二：（1）菱形中， 又面 故可以以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 ‎ 由 可知相关点坐标如下：‎ ‎ ‎ 则平面的一个法向量为 ‎ 因为 所以 故面 ‎ 从而面面 ‎ ‎（2）设，则 因为 所以 ‎ 故 可得： ‎ 平面的一个法向量为 设平面的一个法向量 则 故 ‎ ‎∴ ‎ 即二面角的余弦值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎22．已知椭圆的离心率,在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点,且的面积,若为线段的中点.点在轴上投影为,问：在轴上是否存在两个定点,使得为定值,若存在求出的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）由题意，根据题设条件，列出关于的方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，以及弦长公式，求得，再由点的直线的距离公式，求得点到直线的距离，得出，求得 ‎， 进而得出的值，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知， ‎ 解之得： ‎ 故椭圆的标准方程为： ‎ ‎（2）设直线的方程为 ‎ 代入椭圆方程，消去得：‎ 若设 则 ‎ 此时 ‎ 又点到直线的距离：‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 假设存在符合题意的两个定点 ‎∵ ‎ ‎∴‎ 又 故当，即时，为定值. ‎ 故存在两点满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎