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- 2021-06-11 发布
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1.四个公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角.
②范围:.
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
【知识拓展】
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( × )
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
1.下列命题中正确的个数为________.
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 2
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.
2.(2016·无锡模拟)已知a,b,c是空间的三条直线,给出下列四个命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a,b相交,b,c相交,则a,c也相交;
④若a,b共面,b,c共面,则a,c也共面.
其中真命题的个数是________.
答案 0
3.已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的有________.
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;
③若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l;
④若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
答案 ③
解析 m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故①错误;根据面面垂直与线面平行的性质可知②错误;根据线面平行的性质可知③正确;若m∥n,根据线面垂直的判定可知④错误,故只有③正确.
4.(教材改编)如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2,则BC和EG所成角的大小是______,AE和BG所成角的大小是________.
答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF,tan∠EGF===1,∴∠EGF=45°,
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF,tan∠GBF===,∴∠GBF=60°.
5.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断:
①MN≥(AC+BD);②MN>(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).
其中正确的是________.
答案 ④
解析 如图,取BC的中点O,
连结MO,NO,MN,
则OM=AC,ON=BD,
在△MON中,MN