2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-8-2（选修4-5）不等式选讲 14页

第二讲　(选修4－5)不等式选讲 ‎[重要定理]‎ ‎1．绝对值不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.‎ ‎②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．‎ ‎③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．‎ ‎3．证明不等式的基本方法 ‎(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．‎ ‎4．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎[失分警示]‎ ‎1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．‎ ‎2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．‎ ‎3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏．‎ 考点　绝对值不等式　　‎ 典例示法 题型1　绝对值不等式的解法 典例1　　[2015·沈阳模拟]设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞2；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的最小值．‎ ‎[解]　(1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得 x＝－，x＝4.‎ 原不等式可化为：‎ 或或 所以原不等式的解集为 .‎ 解法二：‎ f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 画出f(x)的图象 y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.‎ 由图象知f(x)＞2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的解法二中的图象知：f(x)min＝－.‎ 题型2　含绝对值不等式的恒成立问题 典例2　　[2016·长春质检]设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)若不等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，当a<0时，要保证f(x)≥－a恒成立，即f(x)的最小值|a＋2|≥－a，解得－1≤a<0，故a≥－1.‎ ‎(2)由题意可知，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝x的上方，画出两个函数图象可知，当a≤－2时，符合题意，当a>－2时，只需满足点(a，a＋2)不在点 eq lc( c)(avs4alco1(a，f(3,2)a))的下方即可，所以a＋2≥a，即－2a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)1时，由2x<4得10，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，‎ 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．‎ 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，‎ 所以f(x)的最小值为a＋b＋c.‎ 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.‎ 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎ 柯西不等式的求解方法 柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．‎ 针对训练 ‎[2015·陕西高考]已知关于x的不等式|x＋a|1的解集．‎ 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，即x>4，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 综上，f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，‎ f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎3．[2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ 证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.‎ 因此＋>＋.‎ ‎(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 由(1)得＋>＋.‎ ‎②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，‎ 即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|<|c－d|.‎ 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎4．[2016·江苏高考]设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，‎ 当且仅当a＝b＝1时等号成立．‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0abba.‎ 解　(1)|x－10|＋|x－20|<10a＋10的解集不是空集，‎ 则(|x－10|＋|x－20|)min<10a＋10，‎ ‎∴10<10a＋10，∴a>0，A＝(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明：不妨设a>b，则＝a－b，‎ ‎∵a>b>0，∴>1，a－b>0，a－b>1，‎ ‎∴aabb>abba.‎ ‎2．[2016·河南测试]已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋f(x＋5)≥9；‎ ‎(2)若|a|<1，|b|<1，求证：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)．‎ 解　(1)f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|‎ ‎＝ 当x<－3时，由－2x－1≥9，解得x≤－5；‎ 当－3≤x≤2时，f(x)≥9，不成立；‎ 当x>2时，由2x＋1≥9，解得x≥4.‎ 所以不等式f(x)＋f(x＋5)≥9的解集为{x|x≤－5或x≥4}．‎ ‎(2)证明：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)，即|ab＋1|>|a＋b|.‎ 因为|a|<1，|b|<1，‎ 所以|ab＋1|2－|a＋b|2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2＋2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，‎ 所以|ab＋1|>|a＋b|，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>1；‎ ‎(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；‎ 当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；‎ 当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1，‎ 综上，原不等式的解集是{x|x<0}．‎ ‎(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当ax＝，即x＝时“＝”成立，‎ 所以g(x)min＝2－1，‎ f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，‎ 所以2－1≥1，即a≥1为所求．‎ ‎4．[2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎5．[2016·湖北七市联考]设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.‎ ‎(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；‎ ‎(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1,3]，求a的取值范围．‎ 解　(1)由于a＝1，故f(x)＝ 当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤.‎ 当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.‎ 综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为∪[3，＋∞)．‎ ‎(2)当a<2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]，‎ 由A⊆[－1,3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；‎ 当a≥2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，‎ 由A⊆[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2，‎ 故2≤a≤3.‎ 综上，a的取值范围为[1,3]．‎ ‎6．[2016·西安交大附中六诊]设函数f(x)＝＋|x－a|.‎ ‎(1)求证：当a＝－时， 不等式ln f(x)>1成立；‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．‎ 解　(1)证明：由f(x)＝＋ ‎＝ 得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3>e.‎ 所以ln f(x)>1成立．‎ ‎(2)由绝对值的性质得f(x)＝＋|x－a|≥＝，‎ 所以f(x)最小值为，从而≥a，‎ 解得a≤，‎ 因此a的最大值为.‎ ‎7.[2016·太原测评]对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.‎ 解　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，‎ 即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，‎ 所以M的最大值m是的最小值．‎ 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，‎ 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，‎ ≥2成立，所以m＝2.‎ ‎(2)|x－1|＋|x－2|≤2.‎ 解法一：利用绝对值的意义得≤x≤.‎ 解法二：当x<1时，原不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2，‎ 解得x≥，所以x的取值范围是≤x<1；‎ 当1≤x≤2时，原不等式化为(x－1)－(x－2)≤2，‎ 得x的取值范围是1≤x≤2；‎ 当x>2时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤.‎ 所以x的取值范围是2