【数学】广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试试题（文）（解析版） 18页

广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.‎ ‎1.复数z满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以,选B.‎ ‎2.已知集合，，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 又，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎3.已知向量满足，且与的夹角为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量满足，且与的夹角为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎4.已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质可得，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）‎ 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 ‎ ‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；‎ 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；‎ 对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；‎ 对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,‎ 故选：B.‎ ‎6.已知在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线方程为，‎ 则双曲线的渐近线方程为，‎ 又在双曲线的渐近线上，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 故选：D.‎ ‎7.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,的定义域为,‎ 因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；‎ 又因为,则当时,,‎ ‎,所以,‎ 故选：D.‎ ‎8.为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案.为了测算纪念图案的面积，如图所示，作一个面积约为的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设纪念图案的面积为，‎ 由随机模拟实验可得，则 ，‎ 故选：C.‎ ‎9.已知函数，把函数的图象上每个点向右平移个单位得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】把函数的图象上每个点向右平移个单位得到函数的图象，‎ 则，‎ 令，即，‎ 即函数的对称轴方程为，‎ 即函数的一条对称轴方程为，‎ 故选：C.‎ ‎10.设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：‎ ‎①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；‎ ‎③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．‎ 其中，一定正确的是（ ）‎ A. ①②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题,对于②,当直线平面时,②不成立；‎ 对于④,当直线平面时,④不成立；‎ 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,‎ 故选：B.‎ ‎11.已知椭圆左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，消可得得，解得，分别代入，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 把代入式并整理得，‎ 两边同除以并整理得，解得 ‎，‎ 故选D．‎ ‎12.己知函数满足，函数，若方程有2019个解，记为，则( )‎ A. 2019 B. 4038 C. 2020 D. 4040‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数满足，则函数的图像关于点对称，又函数，则，即函数的图像也关于点对称，‎ 又方程的解等价于函数的图像与函数的图像交点的横坐标，‎ 由题意可得函数的图像与函数的图像交点关于点对称，‎ 且每组对称点的横坐标之和为，‎ 又有2019个解，则，‎ 故选：A.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数满足，则a的值为________.‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】由分段函数解析式可得，‎ 又，则，‎ 则或，‎ 解得：，‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则外接圆的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 由正弦定理可得：‎ 即 即 ‎ 又，‎ 即，‎ 又，‎ 所以，‎ 设外接圆的半径为，‎ 则 ，‎ 即，‎ 则外接圆的面积为，‎ 故答案为：.‎ ‎16.如图所示，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子恰好在正八面体的顶点上，而硫原子恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由正八面体的性质可得：‎ 当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，且球心为点， 设外接球的半径为，则正八面体的体积为，‎ 又正八面体的外接球的体积为，‎ 则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为,‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.‎ ‎17.已知各项均为正数的等比数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.‎ 解：（1）因为是正数等比数列，且 所以，‎ 即 分解得，‎ 又因为，所以，‎ 所以数列的通项公式为；‎ ‎（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎18.某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图乙），得到如下资料：‎ 最高温度最低温度 甲 ‎ ‎ 乙 ‎（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；‎ ‎（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；‎ ‎（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎②若12月7日的昼夜温差为，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.‎ 参考数据：.‎ 参考公式：‎ 相关系数：（当时，具有较强的相关关系）.‎ 回归方程中斜率和截距计算公式：.‎ 解：（1）散点图如图所示 ‎（2）‎ 因为y与x的相关系数近似为，说明y与x的线性相关程度较强，‎ 从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的；‎ ‎（3）由最小二乘估计公式，得 ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 当时，（颗），‎ 所以，估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗.‎ ‎19.如图甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD（E，F重合，记为点P）.‎ ‎ ‎ 甲 乙 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点M到平面BDP距离h.‎ 解：（1）因为，所以，‎ 又，AP，平面ABP，‎ 所以平面ABP，‎ 因为平面ABP，所以；‎ 由已知得，，‎ 所以是等边三角形，‎ 又因为点M是AP的中点，所以；‎ 因为平面ADP，‎ 所以平面ADP，‎ 因为平面ADP，‎ 所以.‎ ‎（2）取BP中点N，连结DN，‎ 因为平面ABP，，‎ 所以，所以，‎ 所以，在中，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因为平面ABP，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 即点M到平面BDP的距高为.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若的极值为0，求实数a的值；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）由题得，‎ ‎①当时，恒成立，‎ 在上单调递增，没有极值.‎ ‎②当时，由，得，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 在时取到极小值，‎ 的极值为0，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎；‎ ‎（2）由题得对于恒成立，‎ 对于恒成立，‎ 令，原问题转化为，‎ 又，‎ 令，‎ 则在上恒成立，‎ 在上单调递增，‎ ‎，‎ 上单调递增，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎21.已知抛物线，在x轴正半轴上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，O两点.‎ ‎（1）设，证明：抛物线在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；‎ ‎（2）通过解答（1），猜想求过抛物线上一点（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明.‎ 解：（1）当时，点，‎ 由得，‎ 故或，‎ 所以在点P处的切线方程为，‎ 即，‎ 在点Q处的切线方程为，‎ 即，‎ 由得交点，‎ 所以交点N与M关于原点O对称.‎ ‎（2）过点作与x轴垂直的直线交x轴于点，‎ 作点M关于原点对称的点，‎ 猜想切线方程为直线，‎ 即，其中,‎ 由得，‎ 或,‎ 所以在点处的切线斜率为或,‎ 故点处的切线方程为:‎ 或,‎ 由得或,‎ 所以在点处切线方程为,‎ 整理得，‎ 即.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点Q在上，求最小值及此时点的直角坐标．‎ 解：（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,‎ ‎∴圆的参数方程为（为参数）,‎ 直线的极坐标方程可化为,‎ ‎∵,∴直线的直角坐标方程为 ‎（2）法一：设曲线上的点,‎ 点到直线：的距离：‎ ‎,‎ 当时,,‎ 此时点的坐标为,所以,此时点的坐标为 法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,‎ 圆心到直线的距离,‎ 所以,‎ 此时直线经过圆心,且与直线垂直,‎ ‎,所以,所在直线方程为,即,‎ 联立直线和圆的方程,解得或,‎ 当取得最小值时,点的坐标为,‎ 所以,此时点的坐标为 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最大值为，若，证明：．‎ 解：（1）由题,,‎ ‎①当时,恒成立,所以；‎ ‎②当时,即,所以；‎ ‎③当时,显然不成立,所以不合题意：‎ 综上所述,不等式的解集为 ‎（2）由（1）知,于是,‎ 由基本不等式可得,‎ 当且仅当时取等,所以.‎