数学（理）卷·2019届福建师大附中高二上学期期末考试（2018-01） 13页

福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷（实验班）‎ 高二理科数学·选修2-1‎ 时间：120分钟 满分：150分 命题：高二理科集备组 ‎ ‎ ‎ 一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.向量，若∥，则=（ ）‎ A．-2 B．0 C．1 D．2‎ ‎2．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．下列命题中是真命题的是（ ）‎ ‎①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;‎ ‎③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题; ④“，则”的否命题.‎ A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④‎ ‎4.若，则关于的方程表示的曲线是( ) ‎ A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 ‎ C. 焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线 ‎5.与圆外切，且与圆外切的动圆圆心P的 轨迹方程是（ ） ‎ A. B . C. D. [学 ‎6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，‎ 则的面积为（ ）‎ A.4 B.6 C. D. ‎ ‎8．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知P为抛物线的动点，点P在轴上的射影为M，点A的坐标是， ‎ 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）‎ A. B.10 C. D.8 ‎ ‎10．给出以下命题：‎ ‎①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；‎ ‎②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；‎ ‎③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；‎ ‎④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；‎ 则其中正确的命题个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11.过双曲线的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点，若是若E是线段FP中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. +1 C. D. ‎ ‎12．如图,正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( ) ‎ ‎ ‎ A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎13．在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎ ‎ 二、 填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎14.直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是 ．‎ ‎15. 已知， ，若是的必要非充分条件，则的取值范围为__________．‎ ‎16.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶 部距水面高度为_________米.‎ ‎17.在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，‎ D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围 为____________.‎ ‎18．已知椭圆（）的离心率为，长轴上的 等分点从左到右依次为点，，，，过（，，，）点作斜率为（）的直线（，，，），依次交椭圆上半部分于点，，，，，交椭圆下半部分于点，，，，，则条直线，，，的斜率乘积为 ．‎ 三、解答题（要求写出过程，共60分）‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知命题p:方程表示焦点在y轴的椭圆，命题q:关于x的方程没有实数根。若，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 20. ‎(本小题满分10分)‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．‎ ‎ ‎ 21. ‎(本小题满分10分)‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．‎ ‎（1）求的值； （2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 已知椭圆的上顶点为A，点，是上且不在轴上的点.若的离心率为,ΔPAD的最大面积等于.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆E交于不同的两点B,C，若存在点M（m,0）,使得 ‎|CM|=|BM|成立，求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24.(本小题满分12分)‎ 已知,,点满足，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.‎ ‎（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.‎ ‎（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.‎ ‎ ‎ 福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷 高二理科数学·选修2-1参考答案 一、1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A 11.A 12.A 13. B 二、14. x﹣y﹣3=0 15. 或 16.； [‎ ‎17. 18. ‎ ‎19．解: p: ...................... 3分 ‎ q: ...................... 6分 ‎, p假q真 ..................... 9分 ‎ 所以m的取值范围是 ........ .... 12分 ‎20. 【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，如图建立空间直角坐标系，‎ 设DC=1．…..…‎ 连结AC，AC交BD于点G，连结EG．‎ 依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴点G是此正方形的中心，‎ 故点G（），且=（1，0，﹣1），=（）．‎ ‎∴，即PA∥EG，而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，‎ ‎∴PA∥平面EDB． …‎ 解：（Ⅱ）B（1，1，0），=（1，1，﹣1），‎ 又=（0，），故•=0，∴PB⊥DE．‎ 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD．…‎ ‎∴平面EFD的一个法向量为=（1，1，﹣1）．‎ ‎=（0，），=（1，1，0），‎ 不妨设平面DEB的法向量为=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣1，1），…‎ 设二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，‎ cosθ==，‎ ‎∴二面角F﹣DE﹣B的余弦值大小为． …‎ ‎ ‎ ‎21．（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据抛物线焦半径公式及点在上列方程组可求得的值；（2）设， ，设直线的方程为，联立方程,消得, ，根据韦达定理可得．‎ 试题解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．‎ ‎（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时 ‎,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,‎ 则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得, ,‎ 所以,故,‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为．‎ ‎22. 解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，‎ 所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …‎ 由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…‎ 因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF． …‎ 又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…‎ 所以EF⊥平面PAC． …‎ ‎（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）‎ ‎（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣‎ ‎2，2，0），E（1，1，0）．‎ 所以，，…‎ 由已知，，故，‎ 所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…‎ 设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由，得 令x=1，得=（1，1，1）．…‎ 所以 ‎ ‎ ‎=，…‎ 化简得4λ2+4λ﹣3=0，…‎ 故或（舍）…‎ ‎23.解：（Ⅰ）由题意，可得的最大面积为，即.……①‎ ‎…………1分 又……② …………2分 ‎……③ …………3分 联立①②③，解得，，‎ 故的方程为：. …………4分 ‎ (Ⅱ)设C(x1,y1),B(x2,y2)，由 得 .......................6分 则 .......................7分 ‎ 设CD的中点为N（），|CM|=|BM|,∴MN⊥BC ...........9分 ‎，韦达定理代入，化简得.........11分 解得 ‎ 当m=0时，k=0也满足题意。‎ 综上所述，m的取值范围是 ...................... 12分 ‎ ‎ ‎24.【答案】（1）（2）（i）（ii）9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P，Q，与双曲线方程联立消y得，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为 ‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，‎ ‎ 解得k2 >3 ‎ ‎（i）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故得对任意的恒成立，‎ ‎ ∴当m =－1时，MP⊥MQ.‎ 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，‎ 综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ‎ ‎（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，‎ ‎， M点到直线PQ的距离为，则 ‎ ‎∴ ‎ 令，则，因为 所以 ‎ 当直线l的斜率不存在时， ‎ 综上可知，故的最小值为9. ‎