2018届二轮复习基本不等式及其应用课件（文）（江苏专用） 62页

§7.4 　基本不等式及其应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 基本不等式 知识梳理 (1) 基本不等式成立的条件 ： . (2) 等号成立的条件： 当且仅当 时 取等号 . 2. 几个重要的不等式 (1) a 2 ＋ b 2 ≥ ( a ， b ∈ R ). (2) ≥ ( a ， b 同号 ). a ≥ 0 ， b ≥ 0 a ＝ b 2 ab 2 (3) ab ≤ ( a ， b ∈ R ). ( 4 ) ≥ ( a ， b ∈ R ). 以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b . 3. 算术平均数与几何平均数 设 a >0 ， b >0 ，则 a ， b 的算术平均数 为 ， 几何平均数 为 ， 基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等 . 4. 利用基本不等式求最值问题 已知 x >0 ， y >0 ，则 (1) 如果积 xy 是定值 p ，那么 当且仅当 时 ， x ＋ y 有 最 值 . ( 简记：积定和最小 ) (2) 如果和 x ＋ y 是定值 p ，那么 当且仅当 时 ， xy 有 最 值 . ( 简记：和定积最大 ) x ＝ y 小 x ＝ y 大 知识 拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1) 恒成立问题：若 f ( x ) 在区间 D 上存在最小值，则不等式 f ( x )> A 在区间 D 上恒成立 ⇔ ； 若 f ( x ) 在区间 D 上存在最大值，则不等式 f ( x )< B 在区间 D 上恒成立 ⇔ . f ( x ) min > A ( x ∈ D ) f ( x ) max < B ( x ∈ D ) ( 2) 能成立问题：若 f ( x ) 在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x )> A 成立 ⇔ ； 若 f ( x ) 在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x )< B 成立 ⇔ . (3) 恰成立问题：不等式 f ( x )> A 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )> A 的解集为 D ； 不等式 f ( x )< B 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )< B 的解集为 D . f ( x ) max > A ( x ∈ D ) f ( x ) min < B ( x ∈ D ) 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 函数 y ＝ x ＋ 的最小值是 2.( 　　 ) (2) 函数 f ( x ) ＝ cos x ＋ ， x ∈ (0 ， ) 的最小值等于 4.( 　　 ) (3) “ x >0 且 y >0 ” 是 “ ≥ 2 ” 的充要条件 .( 　　 ) (4) 若 a >0 ，则 a 3 ＋ 的最小值为 .( 　　 ) (5) 不等式 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab 与 有相同的成立条件 .( 　　 ) (6) 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 .( 　　 ) × × × × × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 设 x >0 ， y >0 ，且 x ＋ y ＝ 18 ，则 xy 的最大值为 _____. 答案 解析 81 ∵ x >0 ， y >0 ， 即 xy ≤ ( ) 2 ＝ 81 ， 当且仅当 x ＝ y ＝ 9 时， ( xy ) max ＝ 81. 2.( 教材改编 ) 若 0< x <1 ，则 的取值范围是 ______ _ __. 答案 解析 由 0< x <1 知 3 － 2 x >0 ， 当且仅当 x ＝ 时 ，上式等号成立 . 3.( 教材改编 ) 当点 ( x ， y ) 在直线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 上移动时，函数 z ＝ 3 x ＋ 27 y ＋ 3 的最小值是 ____. 答案 解析 当且仅当 3 x ＝ 3 3 y ， 9 即 x ＝ 1 ， y ＝ 时 ， z 取最小值 . 4. 若实数 x ， y 满足 xy ＝ 1 ，则 x 2 ＋ 2 y 2 的最小值为 _____. 答案 解析 当且仅当 x ＝ 时 取等号， 所以 x 2 ＋ 2 y 2 的最小值 为 5.( 教材改编 ) ① 若 x ∈ (0 ， π) ，则 sin x ＋ ≥ 2 ； ② 若 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 则 lg a ＋ lg b ≥ ； ③ 若 x ∈ R ， 则 ≥ 4. 其中正确结论的序 号是 ______. 答案 解析 ①③ ① 因为 x ∈ (0 ， π) ，所以 sin x ∈ (0,1] ，所以 ① 成立； ② 只有在 lg a >0 ， lg b >0 ，即 a >1 ， b >1 时才成立； 当且仅当 x ＝ ±2 时 “ ＝ ” 成立 . 题型分类　深度剖析 题型一　利用基本不等式求最值 命题点 1 　通过配凑法利用基本不等式 例 1 　 (1) 已知 0< x <1 ，则 x (4 － 3 x ) 取得最大值时 x 的值为 ____. 答案 解析 当且仅当 3 x ＝ 4 － 3 x ，即 x ＝ 时 ，取等号 . (2) 已知 x < ， 则 f ( x ) ＝ 4 x － 2 ＋ 的 最大值为 ____. 1 答案 解析 因为 x < ， 所以 5 － 4 x >0 ， 则 f ( x ) ＝ 4 x － 2 ＋ ＝－ (5 － 4 x ＋ ) ＋ 3 ≤ － 2 ＋ 3 ＝ 1 . 当且仅当 5 － 4 x ＝ ， 即 x ＝ 1 时，等号成立 . 故 f ( x ) ＝ 4 x － 2 ＋ 的 最大值为 1. (3) 函数 y ＝ ( x >1) 的最小值为 ________. 答案 解析 当且仅当 ( x － 1) ＝ ， 即 x ＝ ＋ 1 时，等号成立 . 命题点 2 　通过常数代换法利用基本不等式 答案 解析 例 2 　 已知 a >0 ， b >0 ， a ＋ b ＝ 1 ， 则 的 最小值为 ____. 4 ∵ a >0 ， b >0 ， a ＋ b ＝ 1 ， 即 的 最小值为 4 ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时 等号成立 . 引申探究 1. 条件不变，求 (1 ＋ )( 1 ＋ ) 的最小值 . 解答 ＝ 5 ＋ 2 ( ) ≥ 5 ＋ 4 ＝ 9. 当且仅当 a ＝ b ＝ 时 ，取等号 . 2. 已知 a >0 ， b >0 ， ＝ 4 ，求 a ＋ b 的最小值 . 解答 当且仅当 a ＝ b ＝ 时 取等号 . 3. 将条件改为 a ＋ 2 b ＝ 3 ， 求 的 最小值 . 解答 ∵ a ＋ 2 b ＝ 3 ， 当且仅当 a ＝ 时 ，取等号 . (1) 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”. 所谓 “ 一正 ” 是指正数， “ 二定 ” 是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “ 三相等 ” 是指满足等号成立的条件 . (2) 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 . (3) 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数 “ 1 ” 代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 若正数 x ， y 满足 x ＋ 3 y ＝ 5 xy ，则 3 x ＋ 4 y 的最小值是 _____. 答案 解析 5 方法一　由 x ＋ 3 y ＝ 5 xy 可 得 ＝ 1 ， ∴ 3 x ＋ 4 y ＝ (3 x ＋ 4 y )( ) ( 当且仅当 ， 即 x ＝ 1 ， y ＝ 时 ，等号成立 ) ， ∴ 3 x ＋ 4 y 的最小值是 5. 方法二　由 x ＋ 3 y ＝ 5 xy ，得 x ＝ ， ∵ x >0 ， y >0 ， ∴ y > ， 当且仅当 y ＝ 时 等号成立， ∴ (3 x ＋ 4 y ) min ＝ 5. (2) 设 a ＋ b ＝ 2 ， b >0 ， 则 取 最小值时， a 的值为 ____. 答案 解析 － 2 ∵ a ＋ b ＝ 2 ， 当且仅当 时 等号成立 . 又 a ＋ b ＝ 2 ， b >0 ， ∴ 当 b ＝－ 2 a ， a ＝－ 2 时 ， 取得 最小值 . 题型二　基本不等式的实际应用 例 3 　 (1) 设 x ， y ， z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项， 则 的最小值 为 ___. 答案 解析 由题意得 z 2 ＝ xy ， lg x >0 ， lg y >0 ， 当且仅当 ， 即 lg y ＝ 2lg x ，即 y ＝ x 2 时取等号 . (2)(2016· 江苏苏州暑假测试 ) 设正四面体 ABCD 的棱长 为 ， P 是棱 AB 上的任意一点 ( 不与点 A ， B 重合 ) ，且点 P 到平面 ACD ，平面 BCD 的距离分别为 x ， y ， 则 的 最小值是 ______. 答案 解析 过点 A 作 AO ⊥ 平面 BCD 于点 O ，则 O 为 △ BCD 的重心 ， 所以 AO ＝ ＝ 2. 又 V P — BCD ＋ V P — ACD ＝ V A — BCD ， 即 x ＋ y ＝ 2. 当且仅当 x ＝ 3 － ， y ＝ － 1 时取等号 . (1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 . (2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 . (3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 ( 使实际问题有意义的自变量的取值范围 ) 内求解 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 设 x ， y >0 ，且 x ＋ y ＝ 4 ，若 不等式 ≥ m 恒成立 ， 则实数 m 的最大值为 ___. 答案 解析 当且仅当 y ＝ 2 x ＝ 时 等号成立 . (2) 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y ( 单位：万元 ) 与机器运转时间 x ( 单位：年 ) 的关系为 y ＝－ x 2 ＋ 18 x － 25( x ∈ N * ) ，则每台 机器 为 该公司 创造的 年平均 利润的最大值是 ____ 万 元 . 答案 解析 8 年平均利润 为 ＝－ x － ＋ 18 ＝－ ( x ＋ ) ＋ 18 ， ∴ ＝ 18 － ( x ＋ ) ≤ 18 － 10 ＝ 8 ， 当且仅当 x ＝ ， 即 x ＝ 5 时，取等号 . 题型三　基本不等式的综合应用 命题点 1 　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 4 　 若不等式 x ＋ ≤ a ( x ＋ y ) 对任意的实数 x ， y ∈ (0 ，＋ ∞ ) 恒成立 ， 则 实数 a 的最小值为 ______. 答案 解析 几何画板展示 由题意得 a ≥ 恒成立 . 令 t ＝ ( t >0) ，则 a ≥ ， 再令 1 ＋ 2 t ＝ u ( u >1) ，则 t ＝ ， 因为 u ＋ ≥ ( 当且仅当 u ＝ 时 等号成立 ) ， 故 u ＋ － 2 ≥ － 2 ， 命题点 2 　求参数值或取值范围 例 5 　 (1) 已知 a >0 ， b >0 ，若 不等式 恒 成立，则 m 的最大值为 _____. 答案 解析 又 ＋ 6 ≥ ＋ 6 ＝ 12( 当且仅当 时 等号成立 ) ， ∴ m ≤ 12 ， ∴ m 的最大值为 12. 12 (2) 已知函数 f ( x ) ＝ ( a ∈ R ) ，若对于任意的 x ∈ N * ， f ( x ) ≥ 3 恒成立 ， 则 a 的取值范围是 ___________. 答案 解析 对任意 x ∈ N * ， f ( x ) ≥ 3 恒成立， 即 ≥ 3 恒成立 ， 即 知 a ≥ － ( x ＋ ) ＋ 3. 设 g ( x ) ＝ x ＋ ， x ∈ N * ，则 g (2) ＝ 6 ， g (3 ) ＝ . ∵ g (2)> g (3) ， ∴ g ( x ) min ＝ ， ∴ － ( x ＋ ) ＋ 3 ≤ ， ∴ a ≥ ， 故 a 的取值范围是 [ ，＋ ∞ ). (1) 应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式 ( 或式子 ) 变形，然后利用基本不等式求解 . (2) 条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 . (3) 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2016· 江苏三校联考 ) 北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估 . 该商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件 . (1) 据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元 ？ 解答 设每件定价为 t 元， 依题意得 (8 － × 0.2) t ≥ 25 × 8 ， 整理得 t 2 － 65 t ＋ 1 000 ≤ 0 ，解得 25 ≤ t ≤ 40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为 40 元 . 几何画板展示 (2) 为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元，公司拟 投入 ( x 2 － 600) 万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用， 投入 万 元作为浮动宣传费用 . 试问：当该商品改革后的销售量 a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价 . 解答 依题意知， x >25 ， 且 ax ≥ 25 × 8 ＋ 50 ＋ ( x 2 － 600) ＋ ， 等价于 a ≥ ( x >25). 当且仅当 ， 即 x ＝ 30 时等号成立，所以 a ≥ 10.2 . 当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 . 典例 　 (1) 已知 x >0 ， y >0 ， 且 ＝ 1 ，则 x ＋ y 的最小值是 ______. 利用基本不等式求最值 现场纠错 系列 8 现场纠错 纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件 . 错 解展示 (2) 函数 y ＝ 1 － 2 x － ( x <0) 的值域为 ________. 解析 　 (1) ∵ x >0 ， y >0 ， 返回 ∴ x ＋ y 的最小值 为 . ∴ 函数 y ＝ 1 － 2 x － ( x <0) 的值域为 ( － ∞ ， 1 － ]. 解析 　 (1) ∵ x >0 ， y >0 ， ∴ x ＋ y ＝ ( x ＋ y )( ) ＝ 3 ＋ ≥ 3 ＋ ( 当且仅当 y ＝ 时 取等号 ) ， ∴ 当 x ＝ ＋ 1 ， y ＝ 2 ＋ 时 ， ( x ＋ y ) min ＝ 3 ＋ . 当且仅当 x ＝ 时 取等号， 故函数 y ＝ 1 － 2 x － ( x <0) 的值域为 [1 ＋ ，＋ ∞ ). 答案 　 (1)3 ＋ ( 2)[1 ＋ ，＋ ∞ ) 返回 课时作业 1.( 教材改编 ) 已知 a ， b ∈ R ，且 ab >0 ，则下列不等式中，恒成立的序号是 ______. ① a 2 ＋ b 2 >2 ab ； ② a ＋ b ≥ ； 答案 解析 ④ 因为 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，所以 ① 错误 ； 对于 ④ ，因为 ab >0 ， 对于 ② ， ③ ，当 a <0 ， b <0 时，明显错误 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.( 教材改编 ) 用长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是 _____ cm 2 . 答案 解析 16 设矩形长为 x cm(0< x <8) ，则宽为 (8 － x )cm ，面积 S ＝ x (8 － x ). 由于 x >0,8 － x >0 ，可得 S ≤ ( ) 2 ＝ 16 ， 当且仅当 x ＝ 8 － x ，即 x ＝ 4 时， S max ＝ 16. 所以矩形的最大面积是 16 cm 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 . ( － 6 ≤ a ≤ 3) 的最大值为 ___. 答案 解析 当且仅当 3 － a ＝ a ＋ 6 即 a ＝ 时 ，等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2016· 盐城模拟 ) 函数 y ＝ 的 最小值为 ____. 答案 解析 2 当且仅当 ， 即 x ＝ 0 时， y 取到最小值 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 设正数 a ，使 a 2 ＋ a － 2>0 成立，若 t >0 ， 则 log a t ____ log a ( 填 “ > ” “ ≥ ”“ ≤” 或 “ < ” ). 答案 解析 因为 t >0 ， 所以 ， ≤ 因为 a 2 ＋ a － 2>0 ，所以 a < － 2 或 a >1 ， 又 a >0 ，所以 a >1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 设 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ x 2 ＋ 1 ， 则 的 取值范围是 ______. 答案 解析 当 x ＝ 0 时 ， ＝ 1 ； 当 x >0 时， 当 x <0 时， x ＋ ＝－ [( － x ) ＋ ( )] ≤ － 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *7. 设 a > b > c >0 ，则 2 a 2 ＋ － 10 ac ＋ 25 c 2 的最小值是 ___. 答案 解析 4 当且仅当 a － 5 c ＝ 0 ， ab ＝ 1 ， a ( a － b ) ＝ 1 时，等号成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2016· 南京一模 ) 已知 x ， y ∈ R 且满足 x 2 ＋ 2 xy ＋ 4 y 2 ＝ 6 ，则 z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 的取值范围为 ______. 答案 解析 [4,12] ∵ 2 xy ＝ 6 － ( x 2 ＋ 4 y 2 ) ，而 2 xy ≤ ， ∴ 6 － ( x 2 ＋ 4 y 2 ) ≤ ， ∴ x 2 ＋ 4 y 2 ≥ 4( 当且仅当 x ＝ 2 y 时取等号 ). 又 ∵ ( x ＋ 2 y ) 2 ＝ 6 ＋ 2 xy ≥ 0 ， 即 2 xy ≥ － 6 ， ∴ z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 6 － 2 xy ≤ 12 ( 当且仅当 x ＝－ 2 y 时取等号 ). 综上可知 4 ≤ x 2 ＋ 4 y 2 ≤ 12 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知 x >0 ， y >0 ， x ， a ， b ， y 成等差数列， x ， c ， d ， y 成等比数列， 则 的 最小值为 _____. 答案 解析 4 ≥ 2 ＋ 2 ＝ 4 ，当且仅当 x ＝ y 时，等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 某民营企业的一种电子产品， 2015 年的年产量在 2014 年基础上增长率 为 a ； 2016 年计划在 2015 年的基础上增长率为 b ( a ， b ＞ 0) ，若这两年的 平均 增长率 为 q ，则 q 与 的 大小关系是 ________. 答案 解析 设 2014 年的年产量为 1 ，则 2016 年的年产量为 (1 ＋ a )(1 ＋ b ) ， ∴ (1 ＋ q ) 2 ＝ (1 ＋ a )(1 ＋ b ) ， ∴ q ≤ ， 当且仅当 a ＝ b 时，取 “ ＝ ”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(2016· 泰州模拟 ) 已知 a > b >1 且 2log a b ＋ 3log b a ＝ 7 ，则 a ＋ 的 最小值为 _____. 答案 解析 3 因为 2log a b ＋ 3log b a ＝ 7 ，所以 2(log a b ) 2 － 7log a b ＋ 3 ＝ 0 ， 解得 log a b ＝ 或 log a b ＝ 3 ， 因为 a > b >1 ，所以 log a b ∈ (0,1) ，故 log a b ＝ ， 当且仅当 a ＝ 2 时等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2016· 南通模拟 ) 设实数 x ， y 满足 － y 2 ＝ 1 ，则 3 x 2 － 2 xy 的最小值是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 再令 t ＝ 3 － 2 k ∈ (2,4) ，则 k ＝ ， 当且仅当 t ＝ 时 等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二　令 t ＝ 3 x 2 － 2 xy ， 则 y ＝ ，代入方程 － y 2 ＝ 1 并化简得 8 x 4 ＋ (4 － 6 t ) x 2 ＋ t 2 ＝ 0 ， 令 u ＝ x 2 ≥ 4 ，则 8 u 2 ＋ (4 － 6 t ) u ＋ t 2 ＝ 0 在 [4 ，＋ ∞ ) 上有解， 从而由 得 t 2 － 12 t ＋ 4 ≥ 0 ，解得 t ≥ 6 ＋ ， 当取得最小值时， u ＝ 2 ＋ 满足 题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法三　 因为 － y 2 ＝ 1 ＝ ( ＋ y )( － y ) ， 所以 令 ＋ y ＝ t ， 则 － y ＝ ， 从而 则 3 x 2 － 2 xy ＝ 6 ＋ 2 t 2 ＋ ≥ 6 ＋ ， 当且仅当 t 2 ＝ 时等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(2016· 江苏 ) 在锐角三角形 ABC 中，若 sin A ＝ 2sin B sin C ，则 tan A tan B tan C 的最小值是 _____. 答案 解析 8 在 △ ABC 中， A ＋ B ＋ C ＝ π ， sin A ＝ sin[π － ( B ＋ C )] ＝ sin( B ＋ C ) ， 由已知， sin A ＝ 2sin B sin C ， ∴ sin( B ＋ C ) ＝ 2sin B sin C . ∴ sin B cos C ＋ cos B sin C ＝ 2sin B sin C ， A ， B ， C 全为锐角，两边 同时除以 cos B cos C 得 ： ∴ tan A (tan B tan C － 1) ＝ tan B ＋ tan C . tan B ＋ tan C ＝ 2tan B tan C . 则 tan A tan B tan C － tan A ＝ tan B ＋ tan C ， ∴ tan A tan B tan C ＝ tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝ tan A ＋ 2tan B tan C ∴ tan A tan B tan C ≥ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 已知函数 f ( x ) ＝ ( x ≠ a ， a 为非零常数 ). (1) 解不等式 f ( x )< x ； 解答 f ( x )< x ， 即 < x ， 整理为 ( ax ＋ 3)( x － a )<0. 当 a >0 时， ( x ＋ )( x － a )<0 ， ∴ 解集为 { x | － < x < a } ； 当 a <0 时， ( x ＋ )( x － a )>0 ， 解集为 { x | x > － 或 x < a }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 设 x > a 时， f ( x ) 有最小值为 6 ，求 a 的值 . 解答 设 t ＝ x － a ，则 x ＝ t ＋ a ( t >0). 当且仅当 t ＝ ， 即 f ( x ) 有 最小值 ＋ 2 a . 即 t ＝ 时 ，等号成立， 依题意有 ： ＋ 2 a ＝ 6 ，解 得 a ＝ 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14