数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期毕业班第二次月考数学试题（解析版） 15页

高四第一学期第2次考试数学试题 一、选择题 ‎1. 已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a(x>0)为增函数，‎ ‎∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为，‎ 令,则，‎ 可得：时,函数g(x)取得极大值即最大值,.‎ ‎∴.‎ ‎∴a的取值范围是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合题意可知：，‎ 则：，即：，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 且时，，‎ 据此可得：，‎ 据此可得：，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎3. 若关于方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：令,由题设,即,解之得,故应选D.‎ 考点：二次函数的图象和性质的运用.‎ ‎4. 直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示：过点D作,翻折过程中，当时，三棱锥体积最大，‎ 此时，又，所以，所以.，，所以.‎ 所以.‎ 此时，‎ ‎.‎ 表面积为.‎ 故选D.‎ 点睛：解本题的关键是明确何时体积最大，从空间角度，我们可以想象抬的“越高”体积越大，借助于辅助线DO即可说明.‎ ‎5. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且满足 ，若 ，则不等式 的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，‎ ‎∵f(x)−2f′(x)−4>0，∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增，‎ ‎∵f(0)=−1,∴F(0)=1，‎ ‎∴不等式f(x)+2>e2x等价为不等式等价为F(x)>F(0)，‎ 解得x>0，‎ 故不等式的解集为(0,+∞)，‎ 本题选择A选项.‎ ‎6. 设函数在上存在导数， ，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令 ,则,所以为上单调递减奇函数, ‎ 选B.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C ‎【点睛】‎ 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。‎ ‎8. 已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知 =，，选D.‎ ‎【点睛】‎ 对于外接球或内嵌体问题，最重要的是画出立体图形，对于复杂的还需要做出截面。‎ ‎9. 已知函数的两个零点满足，集合 ‎，则（ ）‎ A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)=x2+bx+c的两个零点x1,x2，‎ 可得f(x1)=0,f(x2)=0，二次函数开口向上，‎ 满足|x1−x2|<3,集合A={m|f(m)<0}，‎ 可得x1x2,所以∀m∈A,都有f(m+3)>0.‎ 本题选择A选项.‎ ‎10. 已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，问题转化为方程有四个不同实数根，即函数的图像有四个不同交点，不妨设（）不合题意，则方程有两个不等实数根，故，即，所以，即，应选答案A。‎ ‎11. 已知若存在互不相同的四个实数 满足 ，则 的取值范围是（）‎ A. （， ） B. （，15）‎ C. [，15] D. （，15）‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数的图象如图：‎ 由，得，，则，；‎ 利用对称性可知，‎ 由，可得：.‎ ‎.‎ 本题选择选项.‎ ‎12. 如图，在 中， 分别是 的中点，若（），且点P落在四边形 内（含边界），则的取值范围是（　　）‎ A. [， ] B. [， ] C. [，] D. [，]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知,，设OP与AB交于点C,所以，，，，，=全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ 当，==最小值，当时==，所以选C.‎ 二、填空题 ‎13. 为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点 的坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，可得，①‎ ‎，② 由①②得 ，可得，解得，点坐标为，故答案为.‎ ‎14. 已知函数有且仅有2个零点，则的范围是________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】设，在上递增，由，可得在上有一个零点，只需函数，在有一个零点即可，时，，此时有一个零点，符合题意，若，只需即可，可得，的取值范围是或，故答案为或.‎ ‎15. 在三棱锥中， ， ， ， 为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ,因为，所以 ,由阿波罗斯圆知到直线最远距离为圆的半径，（设 ‎ ，则由得 ）因此三棱锥体积的最大值为 ‎ ‎16. 已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得，,‎ 又，所以，而，故，，在中，利用余弦定理可得：，即 ‎，，得：，故渐近线方程为：‎ 三、解答题 ‎17. 已知函数（, 是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数研究函数最小值时，先根据，得导函数在 上单调递增，因此，即得实数的取值范围.‎ 试题解析:（Ⅰ）当时，有，‎ 则．‎ 又因为，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为，即 ‎ ‎（Ⅱ）因为，令 有（）且函数在上单调递增 ‎ 当时，有，此时函数在上单调递增，则 ‎（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，‎ 则恒成立；‎ ‎（ⅱ）若即时，则在存在，‎ 此时函数在 上单调递减， 上单调递增且，‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 当时，有，则在存在，此时上单调递减， 上单调递增所以函数在上先减后增．‎ 又，则函数在上先减后增且．‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎18. 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．‎ ‎（1）求椭圆G 的标准方程；‎ ‎（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．‎ ‎①证明： ；‎ ‎②求四边形 的面积 的最大值．‎ ‎【答案】（1） （2）①见解析② ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合椭圆的性质可求得，则，椭圆方程为;‎ ‎(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ ‎①联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；‎ ‎②由题意求得面积函数，结合均值不等式的结论可知当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）‎ ‎∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，‎ b2=a2﹣c2=1‎ 椭圆G 的标准方程为：． ‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）‎ ‎①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0‎ ‎，‎ x1+x2=，x1x2=；‎ ‎|AB|==2；‎ 同理|CD|=2，‎ 由|AB|=|CD|得2=2，‎ ‎∵m1≠m2，∴m1+m2=0 ‎ ‎②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=‎ ‎∵m1+m2=0，∴‎ ‎∴s=|AB|×d=2×‎ ‎=.‎ 所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎19. 已知函数 ．‎ ‎ （I） 讨论函数的单调区间；‎ ‎ （II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；（Ⅱ）即的取值范围是．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)对函数求导可得，令得．‎ 分类讨论可得当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；‎ ‎(Ⅱ)当时，函数的解析式，则，讨论函数的单调性可得， ‎ ‎，且，则的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（I）． ‎ 令得．‎ ‎（i）当，即时， ， 在单调递增．‎ ‎（ii）当，即时，‎ 当时， 在内单调递增；‎ 当时， 在内单调递减． ‎ ‎（iii）当，即时，‎ 当时， 在内单调递增；‎ 当时， 在内单调递减． ‎ 综上，当时， 在内单调递增， 在内单调递减；‎ 当时， 在单调递增；‎ 当时， 在内单调递增，‎ 在内单调递减．（其中）‎ ‎（II）当时， ， ‎ 令，得．‎ 将， ， 变化情况列表如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 由此表可得， ． ‎ 又，‎ 故区间内必须含有，即的取值范围是． ‎ ‎20. 已知数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足： ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和两式作差即可得，利用等比数列求通项即可；‎ ‎（2），采用分组求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ①‎ 当时，②‎ ‎①-②得：‎ ‎，又，由①得 ‎，‎ 是以2为首项3为公比的等比数列 ‎。 ‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎