湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试卷 9页

宜昌市部分示范高中教学协作体2019年春期中联考 高二（文科）数学 命题人：张海燕 审题人：向显运 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　)‎ A．e2 B． C.e D．ln 2‎ ‎3. 函数在上的单调性是（ ）‎ A. 先增后减 B. 先减后增 C.增函数 D.减函数 4． 函数在上的最大值为4，则m的值为（ ）‎ A.7 B.-4 C.-3 D.4‎ ‎5．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相切　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎6. 双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A．2　　　　　　 B．2 C． D．1‎ ‎7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　 ) ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎8．函数y =(其中e为自然对数的底数)的大致图像是(　　)‎ A　　　　 　 B　　　　　　 C　　　　　 D ‎9. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎10. 对于函数,下列说法正确的有 (　　)‎ ‎①在处取得极大值；‎ ‎②有两个不同的零点；‎ ‎③. ‎ A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎11. 已知椭圆左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎12. 已知函数的图像上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎14. 如右图在圆C：(x＋3)2＋y2＝100内有一点A(3,0)．Q为圆C上一点，‎ AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，则点M的轨迹方程 ．‎ ‎15. 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则的值 ．‎ ‎16. 一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为 x的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知双曲线C：的离心率为，且＝．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)＝ex－x2－x.‎ ‎（1）若k＝0，求f(x)的最小值；‎ ‎（2）若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，并且经过点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）该椭圆上是否存在一点，它到直线:的距离最小？最小距离是多少？‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.‎ ‎（1）若直线的方程为，求证:；‎ ‎（2）若,则直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)=,k∈R.‎ ‎（1）若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直，求f(x)的单调递减区间和极值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求k的取值范围.‎ 宜昌市部分示范高中教学协作体2019年春期中联考 高二文科数学参考答案 命题人：张海燕 审题人：向显运 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C D B B A A B A C D C 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. y=x 14. 15. 16. ‎ 三． 解答题（共70分）‎ ‎17.解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，‎ ‎∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， ........................1分 又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，‎ 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3， ........................3分 ‎∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，‎ 由，解得 ‎∴a＝2，b＝－4 ........................5分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，‎ f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2. ........................6分 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： ........................8分 x ‎－3‎ ‎(－3，－2)‎ ‎－2‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎8‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎4‎ ‎∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f ＝ ........................9分 又f(－3)＝8，f(1)＝4，‎ ‎∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13 ............10分 ‎18.(1)由题意得 解得 所以b2＝c2－a2＝2．‎ 所以双曲线C的方程为x2－＝1．............5分 ‎(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．.........6分 由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．‎ 所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m． ..........9分 因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，‎ 所以m2＋(2m)2＝5．‎ 故m＝±1．...........12分 ‎19.解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.........1分 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1...........5分 ‎(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R...........6分 ‎∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，‎ 则g′(x)＝ex－1，‎ 由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ 由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0............11分 所以f(x)在R上单调递增．..............12分 ‎20.解（1）由题意 设椭圆的方程为 ‎ 则 ..........3分 ‎ ............4分 ‎ 所求椭圆的标准方程为 .............5分 ‎ ...................6分 ‎ ‎ ‎ .............9分 ‎ ‎ ‎ .............. 12‎ ‎21.解:(1)证明:由得x2-6x+4=0,解得x=3±, ........2分 不妨取A(3-,1-), B(3+,1+), ...........3分 ‎∴·=0, ∴OA⊥OB. .............5分 ‎(2)显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去x得y2-2ty-2m=0, ...................7分 ‎∴y1y2=-2m, x1x2==m2, ....................8分 由OA⊥OB,得=x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m=2, .............10分 直线l的方程为x=ty+2,∴直线l恒过定点,且定点坐标为(2,0)..............12分 ‎22.‎ ‎ 解:(1)由f(x)=知x>0,f'(x)=(x>0),因为曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x=2垂直,‎ 所以f'(e)=0,即,解得k=e,.............2分 所以f'(x)=(x>0).‎ 当0e时,f'(x)>0,f(x)单调递增..............4分 所以当x=e时,f(x)取得极小值,极小值为f(e)=ln e+1=2...........5分 综上,f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为2,无极大值..........6分 ‎(2)因为对任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)x2>0恒成立..........7分 令g(x)=f(x)-x=ln x-x(x>0),‎ 则g(x)在(0,+∞)上单调递减 所以g'(x)=-1≤0在(0,+∞)上恒成立,..........9分 所以k≥-x2+x=-在(0,+∞)上恒成立.‎ 令h(x)=,则k≥h(x)max=,..........11分 所以k的取值范围是,+∞...........12分 ‎ ‎