高中数学讲义微专题79 利用点的坐标解决圆锥曲线问题 19页

微专题 79 利用点的坐标处理解析几何问题 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体 代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心 去处理问题。 一、基础知识： 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将 其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理” 的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解 经常与 相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几 个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具， 只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受 形式的约束 （2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得 复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑 把点的坐标解出来（用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或 因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能 够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 分别是椭圆 的左右顶点 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y  1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    C O ,A B C （1）求圆 和椭圆 的方程 （2）已知 分别是椭圆和圆上的动点（ 位于 轴的 两侧），且直线 与 轴平行，直线 分别与 轴交于 点 ，求证： 为定值 解：（1）依题意可得 ， 过焦点，且 ，再由 可得 椭圆方程为 ，圆方程为 （2）思路：条件主要围绕着 点展开，所以以 为核心，设 ，由 与 轴平行， 可得 。若要证明 为定值，可从 的三角函数值下手，在解析中角的 余 弦 值 可 以 与 向 量 的 数 量 积 找 到 联 系 ， 从 而 能 够 转 化 为 坐 标 运 算 。 所 以 考 虑 ，模长并不利于计算，所以先算 ，考虑利用条件设出 方程，进而 坐标可用核心变量 表示，再进行数量积的坐标运算可得 ，从而 ，即为定值 解：设 与 轴平行， 设 ，由 所在椭圆和圆方程可得： 由椭圆可知： 令 ，可得： 同理： 可得 O C ,P Q ,P Q y PQ x ,AP BP y ,M N MQN 2 4 2a a   O r b b c  2 2 2 4b c a   2b c   2 2 14 2 x y  2 2 2x y  P P  0 0,P x y PQ x  1 0,Q x y MQN MQN cos QM QNMQN QM QN       QM QN  ,AP BP ,M N 0 0,x y 0QM QN   2MQN    0 0,P x y  PQ x   1 0,Q x y ,P Q 2 2 2 20 0 0 0 2 2 2 2 1 0 1 0 4 214 2 22 x y x y x yx y               2,0 , 2,0A B 0 0 2AP yk x    0 0 : 22 yAP y xx   0x  0 0 20, 2 yM x       0 0 : 22 yBP y xx  0 0 20, 2 yN x      ，代入 可得： ，即 为定值 思路二：本题还可以以 其中一条直线为入手点（例如 ），以斜率 作为核心变量， 直线 与椭圆交于 两点，已知 点坐标利用韦达定理可解出 点坐标（用 表示），从 而可进一步将涉及的点的坐标都用 来进行表示，再计算 也可以，计算步骤如 下： 解：设 ，由椭圆方程可得： 所以设直线 ，联立方程： ，代入到直线方程可得： ，由 ，令 可得： 设 ，则 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2, , , , ,2 2 2 2 y x y y x yQM x y x QN x y xx x x x                                         2 2 2 20 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 02 2 4 x y x y x yQM QN x xx x x                2 2 0 0 2 2 1 0 4 2 2 x y x y          2 2 0 02 2 2 0 0 02 0 4 2 2 2 2 04 2 4 y y QM QN y y yy              QM QN  2MQN   ,AP BP AP k AP ,A P A P k k 0QM QN    0 0,P x y    2,0 , 2,0A B  : 2AP y k x      2 2 2 2 2 21 2 1 8 8 4 04 2 2 x y k x k x k y k x             2 2 0 02 2 8 4 4 2 2 1 2 1A k kx x xk k        0 2 4 2 1 ky k  2 2 2 4 2 4,2 1 2 1 k kP k k       2 2 2 4 12 1 4 2 222 1 BP k kk k k k       1: 22BP y xk     : 2AP y k x  0x    10,2 , 0,M k N k       1 0,Q x y  1 0 1 0 1,2 , ,QM x k y QN x yk            由 在圆上可得： ，再由 代入可得： ，即 为定值 例 2：设椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ， 已知 （1）求椭圆的离心率 （2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直线 与该圆相切，求直线 的斜率 解：（1）由椭圆方程可知： ， 即 （2）由（1）可得 椭圆方程为 设 以线段 为直径的圆经过点 联立方程： ，整理可得：   2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 1 2 12 2 kQM QN x k y y x y yk k                Q 2 2 1 0 2x y  0 2 4 2 1 ky k  2 2 2 1 42 2 02 1 k kQM QN k k         QM QN  2MQN     2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F A B 1 2 3 2AB F F P PB 1F O l l    ,0 , 0,A a B b    1 2,0 , ,0F c F c 2 2 1 2, 2AB a b F F c    2 2 2 2 23 2 32a b c a b c       2 2 2 2 23 2 ca a c c e a      : : 2 :1:1a b c   2 2 2 2 12 x y c c     0 0, , 0,P x y B c    1 0 0 1, , ,F P x c y F B c c      PB 1F    1 1 0 0 0 00F P F B c x c cy y x c            22 2 2 2 2 2 2 2 2 y x c x x c c x y c          ，解得： ，代入直线方程： 可知 的中点为 ， 圆方程为 设直线 ： ，整理可得： ，解得： 直线 的斜率为 或 例 3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆 的左右焦点分别为 ， 点 在椭圆上， ， 的面积为 （1）求椭圆的标准方程 （2）设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴的上方有两个交点，且圆在 这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设 ，由 可得： ，解得 23 4 0x cx  0 4 3 cx   0 3 cy  4 1,3 3P c c      0,B c PB 2 2,3 3T c c    2 21 1 4 1 502 2 3 3 3r PB c c c c                 2 2 22 2 5 3 3 9 cx c y c             l y kx 2 2 2 53 3 31T l kc c d c k         2 2 22 2 5 1 8 1 03 3 9k k k k          4 15k    l 4 15 4 15   2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F D 1 2 1 1 2 1 , 2 2F FDF F F DF  1 2DF F 2 2 y x    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 1 2 2F F DF  1 2 1 2 22 2 F FDF c  1 2 1 2 1 1 1 2 222 2 2 2DF FS F F DF c c       2 1 1c c   1 2 1 22, 2F F DF   在 中， 椭圆方程为： （ 2 ） 如 图 ： 设 圆 与 椭 圆 相 交 ， 是两个交点 ， 是圆的切线，且 ，则 由 对 称性可得： 由（1）可得 ， 联立方程 ，解得 （舍）或 过 且分别与 垂直的直线的交点即为圆心 由 是圆的切线，且 ，可得： 因为 为等腰直角三角形 例 4：已知椭圆 的焦距为 ，设右焦点为 ，离心率为 （1）若 ，求椭圆的方程 （2）设 为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点 1 2DF F 2 2 2 2 1 1 2 2 9 3 2 2 2DF DF F F DF     1 22 2 2 2a DF DF a      1b   2 2 12 x y  2 2 12 x y     1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y 1 20, 0y y  1 1 2 2,F P F P 1 1 2 2F P F P 2 1 1 2,x x y y   1 2 12PP x     1 21,0 , 1,0F F      1 1 1 1 2 2 2 2 1 11, , 1, 1,F P x y F P x y x y          2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 10 1 0F P F P F P F P x y            2 2 1 1 22 1 121 1 1 0 3 4 0 12 x y x xx y          1 0x  1 4 3x    1 2,P P 1 1 2 2,F P F P C 1 1 2 2,F P F P 1 1 2 2F P F P 1 2CP CP 1 2CP CP r  1 2CPP 1 1 2 1 2 4 222 3r CP PP x       2 2 2 2 1 0x y a ba b    4 1F e 2 2e  ,A B 1AF M 1BF N O 在以线段 为直径的圆上 ① 证明：点 在定圆上 ② 设直线 的斜率为 ，若 ，求 的取值范围 解：（1）依题意可得： 所以椭圆方程为： （2）①思路：设 ，则 ，由此可得 坐标（用 进行表示）， 而 在以 为直径的圆上可得： ，所以得到关于 的方程，由方程便可 判定出 点的轨迹 解：设 ，则 。因为 ，且 为 的中点 所以有 在以 为直径的圆上 点在定圆 上 ② 消去 可得： （*） 而 ， 代入（*）可得： 所以解得： MN A AB k 3k  e 2c  2 2ca e   2 2 2 4b a c    2 2 18 4 x y   0 0,A x y  0 0,B x y  ,M N 0 0,x y O MN 0OM ON   0 0,x y A  0 0,A x y  0 0,B x y   1 2,0F  ,M N 1 1,AF BF 0 0 0 02 2, , ,2 2 2 2 x y x yM N             O MN OM ON  0 0 0 02 20 02 2 2 2 x x y yOM ON                  2 2 2 20 0 0 0 4 0 44 4 x y x y      A 2 2 4x y      22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 11 44 y kx kxxx y a ba b x kxx y               x  2 2 2 2 1 1= 14 k ka b  2 2 2 2 2 4, 4ce b a ca a e       2 2 4a e 4 2 2 2 2 1 32 1 e ek e    4 2 2 8 4 02 1 e e e    0 1e  21 4 2 32 e   例 5：已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为 （1）求直线 的斜率 （2）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴交于点 ， ① 求 的值 ② 若 ，求椭圆方程 解：（1）由 可知 设 ， （2）① 设 椭圆方程为： 联立方程： ，整理后可得： 可解得： 因为 设 联立方程： ，整理后可得： 2 3 12 e      2 2 2 2 1 0x y a ba b    B F 5 5 BF BF P P B B BP Q Q B PQ y M PM MQ  7 5sin 9PM BQP  5 5 ce a  : : 5 : 2 :1a b c   ,0F c    0, 0,2B b c   2 0 20BF ck c        1 1 2 2, , ,P x y Q x y : 2 2BP y x c   : : 5 : 2 :1a b c   2 2 2 2 15 4 x y c c    2 2 2 22 24 5 20 4 5 2 2 20 2 2 x y c x x c c y x c          224 40 0x cx  1 5 3 cx   5 4,3 3 c cP      BQ BP 1 2BQk   1: 22BQ y x c   2 2 2 2 2 2 4 5 20 14 5 2 201 222 x y c x x c c y x c                ，解得 ，即 设 ， 斜率为 ，由弦长公式可知： ② 由①可得： 由 可得： 椭圆方程为 例 6：已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， （1）求直线 的斜率 （2）求椭圆的方程 （3）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）斜率的取值 范围 解：（1）由已知可得 221 40 0x cx  2 40 21 cx  40 22,21 21 c cQ      00,M y PQ k 2 25 51 0 13 3 c cPM k k      2 240 401 0 121 21 c cQM k k     2 2 5 1 73 40 8121 c kPM cQM k       7 8 PM MQ  7 7 15 15 PM PM PQPQ    7 5sin 9PM BQP  15 5sin sin 57 3BP PQ BQP PM BQP      5 40,2 , ,3 3 c cB c P     2 25 4 5 50 23 3 3BP c c c c                             5 5 5 5 13 3c c     2 2 15 4 x y    2 2 2 2 1 0x y a ba b     ,0F c 3 3 M FM 2 2 2 4 bx y  c 4 3 3FM  FM P FP 2 OP O 3 3 ce a  : : 3 : 2 :1a b c  椭圆方程为 设直线 ，其中 由 可得： 解得： （2）由（1）可得： 解得： 或 在第一象限 ，即 可得： 椭圆方程为： （3）由（2）可知 ，设 ，设 的斜率为 联立方程：  3 , 2a c b c   2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 63 2 x y x y cc c      : 0FM y k x c kx y kc      0k  2 1O FM kcd k    2 2 21 2O FMd c r      2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 4 4 1 4 41 kc b k c c cc kk           3 3k   3: 3FM y x c     22 2 2 2 2 3 12 3 63 32 3 6 y x c x x c c x y c            2 23 2 5 0x cx c    5 3x c  x c M 2 3 3 x c y c   2 3, 3M c c        2 3 4 4 31 3 33 cFM c c           1c   2 2 13 2 x y   1,0F   ,P x y FP k  : 1PF y k x     22 2 2 2 1 2 3 1 6 3 2 6 y k x x k x x y          可解得： 设直线 的斜率为 ，即 当 时， 可知 ，由 可得： 当 时，可知 ，由 可得： 综上所述： 例 7：已知椭圆 的离心率为 ，其短轴的两端点分别为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若 是椭圆 上关于 轴对称的两个不同点，直线 与 轴分别交于点 . 试判断以 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 解：（1） 由短轴顶点 可得： 椭圆方程为 （2）设 ，则对称点 从而直线 的方程为：   2 2 6 2 2 3 1 xk x      3 , 1 1,02x         OP m ym y mxx   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 33 2 1 3 2 1 2 2 2 xx y x m x m x x          3 , 12x        1 0y k x   0ym x   2 2 2 3m x   3 , 12x       2 2 3,3 3m       1,0x   1 0y k x   0ym x   2 2 2 3m x     1,0x  2 3, 3m        2 3 2 2 3, ,3 3 3m                G 2 2    0,1 , 0, 1A B  G ,C D G y ,AC BD x ,M N MN 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c     0,1 , 0, 1A B  1b  2a   2 2 12 x y   0 0,C x y  0 0,D x y 0 0 0 0 1 1,AC BD y yk kx x      ,AC BD ，令 解得： ，设 中点为 则 半径 以 为直径的圆方程为： 代入 可得： ，代入 可得： 即 ① 时，无论 为何值 等式①均成立 圆 恒过 例 8：如图，设抛物线 的准线与 轴交于 ，焦点为 ，以 为 焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的交点为 ，延长 交抛物线于点 ， 是抛物线 上一动点，且 在 之间运动 （1）当 时，求椭圆 的方程 （2）当 的边长恰好是三个连续的自然数时，求 面积的最大值 0 0 0 0 1 1: 1, : 1y yAC y x BD y xx x       0y  0 0 0 0 ,0 , ,01 1 x xM Ny y             MN E 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 1 1 1E x x x yx y y y         00 0 2 0 0 0 1 2 2 1 1 1 MN xx xr y y y        MN   2 2 20 0 0 22 20 0 1 1 x y xx yy y        2 2 2 20 0 0 01 12 2 x xy y     2 2 2 2 20 0 0 2 2 0 0 0 0 2 4 4 4 4 0y y yx y x y xx x x x              2 20 012 x y  2 2 0 0 4 2 0yx y xx    0, 2x y    0 0,x y  E  0, 2  2 1 : 4 0C y mx m  x 1F 2F 1 2,F F 1 2e  2C 1C x P 2PF Q M 1C M ,P Q 1m  2C 1 2PF F MPQ 解：（1） 时， ，焦点坐标 椭圆 的方程为： （2）由 可得： ，即 椭圆方程为： 代入 解得： 边长为 3 个连续的自然数 抛物线方程为 ， 即 ，代入抛物线方程可得： 解得 1m  2 1 : 4C y x  2 1,0F 1c  1 2 ce a  2a  2 2 2 3b a c     2C 2 2 14 3 x y   2 1 : 4 0C y mx m   2 ,0F m c m 1 2 ce a  2 2 2 22 , 3a m b a c m      2 2 2 2 14 3 x y m m  2 2 2 2 2 2 3 4 12 3 16 12 0 4 x y m x mx m y mx            26 3 2 0 3 mx m x m x      2 4y mx 2 6 3 my  2 2 6,3 3P m m      2 2 5 2 3 3 p m mPF x m      1 2 5 72 4 3 3 m mPF a PF m     1 2 62 2 3 mF F c m   1 2PF F 3m   2 12y x    22,2 6 , 3,0P F 2 2 6 0 2 62 3PFk     : 2 6 3PQ y x    2 224 3 12 2 13 18 0x x x x      9 2Qx  92 6 3 3 62Qy           9 , 3 62Q     设 ， 由 可得： 例 9 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 为 动 点 ， 分 别 为 椭 圆 的左，右焦点，已知 为等腰三角形 （1）求椭圆的离心率 （2）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，求 点 的轨迹方程 解：（1）设 ，由图可知， 为等腰三角形即 ,代入可得： ，解得： （舍）或 （2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为： ，与直线 的方程联立，即 消元后发现方程形式为 ，形式极其简单，所以直接求出点 2 ,12 tM t      3 6,2 6t   2 2 2 6 6 66 6 6 6 756 3630 30 2 224 1M PQ t t d t t t                3 6,2 6t   2 6 75 75,02 2 2t              2 max max 6 6 75 6 75 5 630 2 2 30 2 4M PQd t              92,2 6 , , 3 62P Q    251 24 2P QPQ x x       max max 1 1 25 5 125 662 2 2 4 16MPQ M PQS PQ d        xOy   , 0P a b a b  1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b  1 2F PF e 2PF ,A B M 2PF 2AM BM    M    1 2,0 , ,0F c F c 1 2F PF 2 1 2PF F F  2 2 2 1 2, 2PF a c b F F c       2 22 2 22 =4a c b c a c b c      2 2 22 2 4 0 2 1 0a ac c e e        1e   1 2e  2 2 23 4 12x y c  2PF   2 2 23 4 12 3 x y c y x c      25 8 0x cx  的坐标可得： ，进而设所求点 。将 坐标化后， 再 利 用 即 可 得 到 关 于 的 方 程 ： ， 方 程 中 含 有 ， 所 以 考 虑 利 用 直 线 方 程 将 消掉： ，代入即可得到轨迹方程 解： 椭圆方程转化为： 即 即 的方程为： ，设 ，联立方程可得： ，消去 ，方程转化为： 解得： 设 ，则 由 可得： ，化简可得： ① 因为 ，所以 ，代入①式化简可得：  8 3 3, , 0, 35 5A c c B c       ,M x y ,AM BM  2AM BM    ,x y  8 3 3 3 25 5x x c y c y c             c  3y x c  c 3 3c x y  1 2 ce a  2 22 , 3a c b a c c      2 2 2 2 14 3 x y c c  2 2 23 4 12x y c   ,P a b  2 , 3P c c 2 0 3 32PF ck c c    2PF  3y x c     1 1 2 2, , ,A x y B x y   2 2 23 4 12 3 x y c y x c      y  22 2 23 4 3 12 5 8 0x x c c x cx       1 2 8 , 05x c x   8 3 3, , 0, 35 5A c c B c       ,M x y  8 3 3, , , 35 5AM x c y c BM x y c           2AM BM     8 3 3 3 25 5x x c y c y c             2 2 28 2 3 9 2 05 5 5x cx y cy c       3y x c  3 yc x  218 16 3 15 0x xy   将 代入 ，可得： 的轨迹方程为： 例 10：如图， 分别为椭圆 的左右焦点，椭圆 上的点到 距离的最大值为 5，离心率为 ， 是椭圆 上位于 轴上方的两点，且直线 与 平行。 （1）求椭圆 的方程 （2）设 与 的交点为 ，求证： 为 定值 解：（1） ，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为 所以椭圆方程为 （2） 解：由（1）可得： ，设 设直线 ，与椭圆联立方程： ，整理可得： 由 可得： ① 218 15 16 3 xy x  3 yc x  210 5 0 016 xc xx     M  218 16 3 15 0 0x xy x    1 2,F F   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    C 1F 2 3 ,A B C x 1AF 2BF C 2AF 1BF P 1 2PF PF 2 3 ce a  5a c  3, 2a c   2 2 2 5b a c   2 2 19 5 x y     1 22,0 , 2,0F F    1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 : 2AF x my   2 2 2 2 2 5 2 9 45 5 9 45 x my my y x y          2 29 5 20 25 0m y my          2 2 2 1 22 20 20 100 9 5 10 15 1 9 52 9 5 m m m m my mm         1 0y  2 1 2 10 15 1 5 9 m my m    2 2 2 1 1 2 10 15 11 0 1 5 9 m mAF m y m m          同理，设直线 ，与椭圆联立方程： 整理可得： 由 可得： ② 同理 ③ 由①②可得： 2 : 2BF x my   2 2 2 2 2 5 2 9 45 5 9 45 x my my y x y          2 29 5 20 25 0m y my          2 2 2 2 22 20 20 100 9 5 10 15 1 9 52 9 5 m m m m my mm           2 0y  2 2 2 10 15 1 5 9 m my m     2 2 2 2 2 2 10 15 11 0 1 5 9 m mBF m y m m           1 2AF BF ∥ 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 PF AF PF AF PF AF PB BF PB PF BF AF BF BF AF         1 21 1 1 2 1 2 1 2AF a BFAF BFPF BF AF BF AF      2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 PF BF PF BF PF BF PA AF PA PF AF BF AF BF AF        2 12 2 2 2 1 2 1 2BF a AFAF BFPF BF AF BF AF         1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2AF a BF BF a AFPF PF BF AF BF AF          1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 22a AF BF AF BF AF BFaBF AF BF AF        1 2 2 1 26 AF BF BF AF    代入到③可得： 为定值 2 2 2 2 1 2 2 2 10 15 1 10 15 11 15 9 5 9 m m m mAF BF m mm m              2 2 30 1 5 9 m m    2 2 2 2 1 2 2 2 10 15 1 10 15 11 15 9 5 9 m m m mAF BF m mm m                    2 2 2 22 15 1 10 15 1 10 1 5 9 m m m m m m                    2 2 2 2 2 2 22 2 225 1 100 25 5 9 1 1 5 9 5 9 m m m m m m m                2 2 25 1 5 9 m m          2 2 1 2 2 2 25 1 2 5 9 5 136 6 3 330 1 5 9 m m PF PF m m            1 2PF PF 