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- 2021-06-11 发布
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2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二(上)第三次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,a=2,A=30°,C=135°,则边c=( )
A.1 B. C.2 D.2
3.设x∈R,则“x<1”是“x≠2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.在空间直角坐标系中,点A(1,﹣1,1)与点B(﹣1,﹣1,﹣1)关于( )对称
A.x轴 B.y轴 C.z轴 D.原点
5.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
6.下列命题中是假命题的是( )
A.∃m∈R,使f(x)=(m﹣1)•x是幂函数
B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(x+φ)都不是偶函数
C.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβ
D.∀α>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣α有零点
7.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
8.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
9.已知△ABC的面积为,则△ABC的周长等于( )
A. B. C. D.
10.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )
A.X+Z=2Y B.Y(Y﹣X)=Z(Z﹣X) C.Y2=XZ D.Y(Y﹣X)=X(Z﹣X)
11.设变量x,y满足:,则z=|x﹣3y|的最大值为( )
A.8 B.3 C. D.
12.已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2:﹣y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.全称命题:∀x∈R,x2>1的否定是 .
14.椭圆上的点到直线的最大距离是 .
15.已知,则的最小值是 .
16.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为 .
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an.
18.已知命题p:曲线y=x2+(2m﹣3)x+1与x轴相交于不同的两点;命题q:
=1表示焦点在x轴上的椭圆.若“p且q”是假命题,“p或q”是真命题,求m的取值范围.
19.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为,且c=2,已知点A()
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)过点A的直线L交双曲线于M,N两点,点A为线段MN的中点,求直线L方程.
20.在△ABC中,,BC=1,.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)求的值.
21.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O、O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
22.已知椭圆 +=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二(上)第三次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. B. C. D.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.
【解答】解:抛物线的方程可变为x2=y
故p=,
其准线方程为y=﹣,
故选:D
2.在△ABC中,a=2,A=30°,C=135°,则边c=( )
A.1 B. C.2 D.2
【考点】正弦定理.
【分析】利用正弦定理建立等式,把已知条件代入求得答案.
【解答】解:由正弦定理知=,
∴=,
∴c=2,
故选:C.
3.设x∈R,则“x<1”是“x≠2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【解答】解:若“x<1”则“x≠2”成立,即充分性成立,
若x=3满足“x≠2”,但x<1不成立,即必要性不成立,
故“x<1”是“x≠2”的充分不必要条件,
故选:A
4.在空间直角坐标系中,点A(1,﹣1,1)与点B(﹣1,﹣1,﹣1)关于( )对称
A.x轴 B.y轴 C.z轴 D.原点
【考点】空间直角坐标系.
【分析】两点之间的纵坐标相等,其余两坐标互为相反数,由其特征可以判断出这两点关于y轴对称.
【解答】解:由点A(1,﹣1,1)与点B(﹣1,﹣1,﹣1)
知两点的纵坐标相等,横坐标与竖坐标互为相反数,
故两点一定关于y轴对称.
故应选B.
5.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【考点】余弦定理的应用;三角形的形状判断.
【分析】由sin2A+sin2B<sin2C,结合正弦定理可得,a2+b2<c2,由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围
【解答】解:∵sin2A+sin2B<sin2C,
由正弦定理可得,a2+b2<c2
由余弦定理可得cosC=
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
6.下列命题中是假命题的是( )
A.∃m∈R,使f(x)=(m﹣1)•x是幂函数
B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(x+φ)都不是偶函数
C.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβ
D.∀α>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣α有零点
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】利用特殊值法进行判断,能够求出结果.
【解答】解:当m=2时,f(x)=(m﹣1)•x是幂函数,故A正确;
当φ=kπ+时,函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,故B不正确;
当取α=,β=﹣时cos(α+β)=cosα+cosβ,故C正确;
函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解,而y=ln2x+lnx∈[﹣,+∞),故a∈[﹣,+∞),D正确.
故选B.
7.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意因为圆C:x2+y2﹣6x+
5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0),利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a,b的方程.再利用双曲线的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,建立另一个a,b的方程,解出它们,即可得到所求方程.
【解答】解:因为圆C:x2+y2﹣6x+5=0⇔(x﹣3)2+y2=4,
由此知道圆心C(3,0),圆的半径为2,
又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心,
而双曲线﹣=1(a>0,b>0),
∴a2+b2=9①
又双曲线的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,
而双曲线的渐近线方程为:y=±x⇒bx±ay=0⇒=2②
联立①②,解得:.
∴双曲线的方程: =1.
故选B.
8.等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
【考点】等差数列的性质.
【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18,再由等差数列的前20项和的式子可得到答案.
【解答】解:∵a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20)
∴a1+a20=18
∴=180
故选B
9.已知△ABC的面积为,则△ABC的周长等于( )
A. B. C. D.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】根据三角形的面积等于求出 AB•BC=2,再由余弦定理可得 AB2+BC2=5,由此求得 AB+BC=3,再由AC=,求出周长.
【解答】解:由题意可得 AB•BCsin∠ABC=,即 AB•BC•=,∴AB•BC=2.
再由余弦定理可得 3=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=AB2+BC2﹣AB•BC=AB2+BC2﹣2,
∴AB2+BC2=5,∴(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB•BC=5+4=9,∴AB+BC=3.
∴△ABC的周长等于 AB+BC+AC=3+,
故选A.
10.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )
A.X+Z=2Y B.Y(Y﹣X)=Z(Z﹣X) C.Y2=XZ D.Y(Y﹣X)=X(Z﹣X)
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】根据等比数列的性质:Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n,…,也成等比数列,得到X,Y﹣X,Z﹣Y成等比数列,再由等比中项的性质列出方程化简即可.
【解答】解:因为{an}是任意等比数列,
所以Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n也成等比数列,
即X,Y﹣X,Z﹣Y成等比数列,
所以(Y﹣X)2=X(Z﹣Y),即Y2﹣2YX+X2=XZ﹣XY,
化简得Y2﹣YX=XZ﹣X2,即Y(Y﹣X)=X(Z﹣X),
故选:D.
11.设变量x,y满足:,则z=|x﹣3y|的最大值为( )
A.8 B.3 C. D.
【考点】简单线性规划.
【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=|x﹣3y|,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时,从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可.
【解答】解:依题意,画出可行域(如图示),
则对于目标函数z=x﹣3y,
当直线经过A(﹣2,2)时,
z=|x﹣3y|,取到最大值,Zmax=8.
故选:A.
12.已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2:﹣y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1
【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点,得到c2=m2﹣1=n2+1,即m2﹣n2=2,进行判断,能得m>n,求出两个离心率,先平方进行化简进行判断即可.
【解答】解:∵椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2:﹣y2=1(n>0)的焦点重合,
∴满足c2=m2﹣1=n2+1,
即m2﹣n2=2>0,∴m2>n2,则m>n,排除C,D
则c2=m2﹣1<m2,c2=n2+1>n2,
则c<m.c>n,
e1=,e2=,
则e1•e2=•=,
则(e1•e2)2=()2•()2====1+=1+=1+>1,
∴e1e2>1,
故选:A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.全称命题:∀x∈R,x2>1的否定是 .
【考点】命题的否定.
【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,可得答案.
【解答】解:命题:∀x∈R,x2>1的否定是:,
故答案为:
14.椭圆上的点到直线的最大距离是 .
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】利用椭圆的参数方程来解,根据椭圆的标准方程,得到椭圆的参数方程,所以可设椭圆上的任意一点坐标为(4cosα,2sinα),代入点到直线的距离公式,化简为一角一函数.再根据正弦函数的有界性求出最大值即可.
【解答】解:∵椭圆方程为,
∴可设椭圆上的任意一点P坐标为(4cosα,2sinα)
∴P到直线的距离d=
=
∵
∴
∴d的最大值为
15.已知,则的最小值是 .
【考点】空间向量的加减法;向量的模.
【分析】根据向量、的坐标,可得向量=(1+t,2t﹣1,0),结合向量的模的公式,得到=,最后利用二次函数求最值的方法,可得的最小值.
【解答】解:∵,
∴向量=(1+t,2t﹣1,0)
可得向量的模==
∵5t2﹣2t+2=5(t﹣)2+
∴当且仅当t=时,5t2﹣2t+2的最小值为
所以当t=时,的最小值是=
故答案为:
16.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MM1|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.
【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab
配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab,
又∵ab≤() 2,
∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
所以≤=,
即的最大值为.
故答案为:.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an.
【考点】数列的概念及简单表示法.
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an.
【解答】解:a1=S1=3+2=5,
an=Sn﹣Sn﹣1=(3+2n)﹣(3+2n﹣1)=2n﹣1,
当n=1时,2n﹣1=1≠a1,
∴.
18.已知命题p:曲线y=x2+(2m﹣3)x+1与x轴相交于不同的两点;命题q: =1表示焦点在x轴上的椭圆.若“p且q”是假命题,“p或q”是真命题,求m的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别求出p,q为真时的m的范围,通过讨论p,q的真假,得到关于m的不等式组,解出即可.
【解答】解:命题p为真,
若命题q为真⇔m>2,
∵“p且q为假”是假命题,“p或q为假”是真命题,
∴p,q一真一假,
若p真q假,则,
若q真p假,则,
综上,.
19.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为,且c=2,已知点A()
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)过点A的直线L交双曲线于M,N两点,点A为线段MN的中点,求直线L方程.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】(1)利用焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为,且c=2,求出几何量,即可求双曲线的标准方程;
(2)利用点差法,求出直线的斜率,即可求直线L方程.
【解答】解:(Ⅰ)由题意, =,c=2,
∴a=1,b=,
∴双曲线的标准方程为;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),代入双曲线方程,两式相减,
结合点A(1,)为线段MN的中点,可得2(x1﹣x2)﹣3(y1﹣y2),∴k=,
∴直线L方程为y﹣=(x﹣1),即4x﹣6y﹣1=0.
20.在△ABC中,,BC=1,.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)求的值.
【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算.
【分析】(1)利用同角三角函数基本关系,根据cosC,求得sinC,进而利用正弦定理求得sinA.
(2)先根据余弦定理求得b,进而根据=BC•CA•cos(π﹣C)求得答案.
【解答】解:(1)在△ABC中,由,得,
又由正弦定理:得:.
(2)由余弦定理:AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得:,
即,解得b=2或(舍去),所以AC=2.
所以, =BC•CA•cos(π﹣C)=
即.
21.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O、O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
【考点】异面直线及其所成的角;棱柱的结构特征.
【分析】(Ⅰ)依据空间直角坐标系,设出坐标,利用求正三棱柱的侧棱长.
(Ⅱ)利用向量法求出cos<>,即可得到异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)设正三棱柱的侧棱长为h,
由题意得 A(0,﹣1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,﹣1,h),B1(,0,h),c1(0,1,h).
,
所以h= …
(Ⅱ),|AB1|=,|BC|=2,
,cos<>= …
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为…
22.已知椭圆 +=1(a>b>0)的离心率e=
,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.
【分析】(1)求出过点A(0,﹣b) 和B(a,0)的直线,利用直线L与坐标原点的距离为,椭圆的离心率,建立方程,求出椭圆的几何量,即可求得椭圆的方程;
(2)直线y=kx+2代入椭圆方程,利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E,利用数量积为0,即可求得结论.
【解答】解:(1)∵直线过点A(0,﹣b)和B(a,0),
∴直线L:与坐标原点的距离为,∴=.①…
∵椭圆的离心率 e=,∴.②…
由①得4a2b2=3a2+3b2,即4a2(a2﹣c2)=3a2+3(a2﹣c2)③
由②③得a2=3,c2=2
∴b2=a2﹣c2=1
∴所求椭圆的方程是+y2=1…
(2)直线y=kx+2代入椭圆方程,消去y可得:(1+3k2)x2+12kx+9=0
∴△=36k2﹣36>0,∴k>1或k<﹣1…
设C(x1,y1),D(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=…
∵=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),且以CD为圆心的圆过点E,
∴EC⊥ED…
∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
∴(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0
∴(1+k2)×+(2k+1)×+5=0,解得k=>1,
∴当k=时以CD为直径的圆过定点E…