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- 2021-06-11 发布
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一、选择题
1.如图所示,PC切⊙O于A,PO的延长线交⊙O于B,BC切⊙O于
B,若AC∶CP=1∶2,则PO∶OB等于
( ).
A.2∶1 B.1∶1
C.1∶2 D.1∶4
解析 连接OA,则OA⊥PC,
∴△PAO∽△PBC,
∴=,即=,
又∵OA=OB,AC∶CP=1∶2,设AC=x,则CP=2x,
∴CA=x=BC,∴==2,∴PO∶OB=2∶1.
答案 A
2.如图所示,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,连接OP交AB于C,连接OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为
( ).
A.1,2 B.2,2 C.2,6 D.1,6
解析 ∵PA、PB为⊙O切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB,
PA=PB,OP平分∠APB,∴OP⊥AB.
∴直角三角形有6个,等腰三角形有2个.
即直角三角形有:△OAP,△OBP,△OCA,△OCB,△ACP,△CBP;等腰三角形有:△OAB,△ABP.
答案 C
3.设圆内两条相交弦,其中一弦长为8 cm,且被交点平分,另一条弦被交点分成1∶4两部分,则这条弦长是
( ).
A.2 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
解析 由相交弦推论即可得.
设另一条弦被分成x cm,
4x cm.则2=x·4x,所以x=2 cm.
所以弦长为10 cm.
答案 C
4.如图所示,在⊙O中,弦AB与半径OC相交于点M,且OM=MC,AM=1.5,BM=4,则OC等于
( ).
A.2 B.
C.2 D.2
解析 延长CO交⊙O于D,则DM=3CM,CM·MD=MA·MB,所以1.5×4=3CM 2,CM=,OC=2.
答案 D
二、填空题
5.如图所示,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为________.
解析 由相交弦定理知
EA·EB=EC·ED. (*)
又∵E为AB中点,AB=4,DE=CE+3,
∴(*)式可化为22=EC(CE+3)=CE2+3CE,
∴CE=-4(舍去)或CE=1.
∴CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5.
答案 5
6.如图所示,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于点C,图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)
解析 如题图所示,由于PA、PB均为⊙O切线,∴PA⊥OA,PB⊥OB
.又由切线长定理知PA=PB,OP为∠APB的角平分线,∴AB⊥OP,故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.
答案 AB OP
7.如图所示,AB为⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若EA=1,ED=2,则BC的长为________.
解析 ∵CE为⊙O切线,D为切点,
∴ED2=EA·EB.
又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,
又∵CB、CD均为⊙O切线,∴CD=CB.
在Rt△EBC中,设BC=x,则EC=x+2.
由勾股定理:EB2+BC2=EC2
得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.
答案 3
8.(2012·湖南高考)如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径等于________.
解析 设半径为R,由相交弦定理得(PO-R)(PO+R)=PA·PB,(3-R)·(3+R)=1×3,9-R2=3,R2=6,R=.
答案
三、解答题
9.如图所示,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
求证:AB+CD=AD+BC
证明 因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切,L、M、N、P为切点,所以AL=AP,LB=MB,DN=DP,NC=MC.
所以AB+CD=AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AD+BC.即AB+CD=AD+BC.
10.如图,已知在⊙O中,P是弦AB的中点,过点P作半径OA的垂线,垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点.
求证:PC·PD=AE·AO.
证明 连接OP,∵P为AB的中点,
∴OP⊥AB,AP=PB.
∵PE⊥OA,
∴AP2=AE·AO.
∵PD·PC=PA·PB=AP2,
∴PD·PC=AE·AO.
11.(拓展深化)如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点P,CD=10 cm,AP∶PB=1∶5,求⊙O的半径.
解 法一 连接OC,设AP=k cm,PB=5k (k>0) cm,因为AB为⊙O直径,所以半径OC=AB=(AP+PB)=(k+5k)=3k,且OP=OA-PA=3k-k=2k.
因为AB垂直CD于P,
所以CP=CD=5 cm.
在Rt△COP中,
由勾股定理,
得OC2=PC2+PO2,
所以(3k)2=52+(2k)2,
即5k2=25,所以k=.
所以半径OC=3k=3 (cm).
法二 设AP=k,PB=5k,
由相交弦定理:
CP·PD=AP·PB,
即2=k·5k.
∴k=,
∴==3,
即⊙O的半径为3 cm.