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  • 2021-06-11 发布

高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-5与圆有关的比例线段 含解析

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一、选择题 ‎1.如图所示,PC切⊙O于A,PO的延长线交⊙O于B,BC切⊙O于 B,若AC∶CP=1∶2,则PO∶OB等于 ‎(  ).‎ A.2∶1           B.1∶1‎ C.1∶2 D.1∶4‎ 解析 连接OA,则OA⊥PC,‎ ‎∴△PAO∽△PBC,‎ ‎∴=,即=,‎ 又∵OA=OB,AC∶CP=1∶2,设AC=x,则CP=2x,‎ ‎∴CA=x=BC,∴==2,∴PO∶OB=2∶1.‎ 答案 A ‎2.如图所示,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,连接OP交AB于C,连接OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ‎(  ).                  ‎ A.1,2 B.2,‎2 ‎‎ C.2,6 D.1,6‎ 解析 ∵PA、PB为⊙O切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB,‎ PA=PB,OP平分∠APB,∴OP⊥AB.‎ ‎∴直角三角形有6个,等腰三角形有2个.‎ 即直角三角形有:△OAP,△OBP,△OCA,△OCB,△ACP,△CBP;等腰三角形有:△OAB,△ABP.‎ 答案 C ‎3.设圆内两条相交弦,其中一弦长为‎8 cm,且被交点平分,另一条弦被交点分成1∶4两部分,则这条弦长是 ‎(  ).                  ‎ A.‎2 cm B.‎8 cm C.‎10 cm D.‎‎12 cm 解析 由相交弦推论即可得.‎ 设另一条弦被分成x cm,‎ ‎4x cm.则2=x·4x,所以x=‎2 cm.‎ 所以弦长为‎10 cm.‎ 答案 C ‎4.如图所示,在⊙O中,弦AB与半径OC相交于点M,且OM=MC,AM=1.5,BM=4,则OC等于 ‎(  ).‎ A.2      B. C.2      D.2 解析 延长CO交⊙O于D,则DM=‎3CM,CM·MD=MA·MB,所以1.5×4=‎3CM 2,CM=,OC=2.‎ 答案 D 二、填空题 ‎5.如图所示,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为________.‎ 解析 由相交弦定理知 EA·EB=EC·ED.  (*)‎ 又∵E为AB中点,AB=4,DE=CE+3,‎ ‎∴(*)式可化为22=EC(CE+3)=CE2+3CE,‎ ‎∴CE=-4(舍去)或CE=1.‎ ‎∴CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5.‎ 答案 5‎ ‎6.如图所示,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于点C,图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)‎ 解析 如题图所示,由于PA、PB均为⊙O切线,∴PA⊥OA,PB⊥OB ‎.又由切线长定理知PA=PB,OP为∠APB的角平分线,∴AB⊥OP,故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.‎ 答案 AB OP ‎7.如图所示,AB为⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若EA=1,ED=2,则BC的长为________.‎ 解析 ∵CE为⊙O切线,D为切点,‎ ‎∴ED2=EA·EB.‎ 又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,‎ 又∵CB、CD均为⊙O切线,∴CD=CB.‎ 在Rt△EBC中,设BC=x,则EC=x+2.‎ 由勾股定理:EB2+BC2=EC2‎ 得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.‎ 答案 3‎ ‎8.(2012·湖南高考)如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径等于________.‎ 解析 设半径为R,由相交弦定理得(PO-R)(PO+R)=PA·PB,(3-R)·(3+R)=1×3,9-R2=3,R2=6,R=.‎ ‎ 答案  三、解答题 ‎9.如图所示,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.‎ 求证:AB+CD=AD+BC 证明 因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切,L、M、N、P为切点,所以AL=AP,LB=MB,DN=DP,NC=MC.‎ 所以AB+CD=AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AD+BC.即AB+CD=AD+BC.‎ ‎10.如图,已知在⊙O中,P是弦AB的中点,过点P作半径OA的垂线,垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点. ‎ 求证:PC·PD=AE·AO.‎ 证明 连接OP,∵P为AB的中点,‎ ‎∴OP⊥AB,AP=PB.‎ ‎∵PE⊥OA,‎ ‎∴AP2=AE·AO.‎ ‎∵PD·PC=PA·PB=AP2,‎ ‎∴PD·PC=AE·AO.‎ ‎11.(拓展深化)如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点P,CD=‎10 cm,AP∶PB=1∶5,求⊙O的半径.‎ 解 法一 连接OC,设AP=k cm,PB=5k (k>0) cm,因为AB为⊙O直径,所以半径OC=AB=(AP+PB)=(k+5k)=3k,且OP=OA-PA=3k-k=2k.‎ 因为AB垂直CD于P,‎ 所以CP=CD=‎5 cm.‎ 在Rt△COP中,‎ 由勾股定理,‎ 得OC2=PC2+PO2,‎ 所以(3k)2=52+(2k)2,‎ 即5k2=25,所以k=.‎ 所以半径OC=3k=3 (cm).‎ 法二 设AP=k,PB=5k,‎ 由相交弦定理:‎ CP·PD=AP·PB,‎ 即2=k·5k.‎ ‎∴k=,‎ ‎∴==3,‎ 即⊙O的半径为‎3 cm.‎

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