【数学】2020届一轮复习人教A版古典概型与几何概型学案 13页

高考总复习：古典概型与几何概型 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；‎ ‎2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。‎ ‎【知识网络】‎ 随机事件的概率 古典概型 几何概型 应用 ‎【考点梳理】‎ 知识点一、古典概型 ‎1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：‎ ‎（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎（2）每个基本事件出现的可能性相等。‎ ‎2. 古典概型的基本特征 ‎（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。‎ ‎（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。‎ ‎3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。‎ 所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：‎ ‎4.求古典概型的概率的一般步骤： ‎ ‎（1）算出基本事件的总个数； ‎ ‎（2）计算事件A包含的基本事件的个数；‎ ‎（3）应用公式求值。 ‎ ‎5．古典概型中求基本事件数的方法：‎ ‎（1）穷举法；‎ ‎（2）树形图；‎ ‎（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。‎ 知识点二、几何概型 ‎1. 定义：‎ 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。‎ ‎2.几何概型的两个特点：‎ ‎（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；‎ ‎（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。‎ ‎3.几何概型的概率计算公式：‎ 随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。‎ 所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：‎ 其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。‎ 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、古典概型 例1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ，，．‎ ‎(1) 求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；‎ ‎(2) 求“抽取的卡片上的数字 ，， 不完全相同”的概率．‎ ‎【解析】 (1) 由题意， 的所有可能为 共 种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足 ”为事件 ，则事件 包括 ，，，共 种，所以 因此“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率为 ．‎ ‎ (2) 设“抽取的卡片上的数字 ，， 不完全相同”为事件 ，则事件 包括 ，，，共 种，所以 因此“抽取的卡片上的数字 ，， 不完全相同”的概率为 ．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】(2018 天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 ，，．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2) 将抽取的 名运动员进行编号，编号分别为 ，，，，，．现从这 名运动员中随机抽取 人参加双打比赛．‎ ‎① 用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎② 设 为事件“编号为 和 的两名运动员中至少有 人被抽到”，求事件 发生的概率．‎ ‎【解析】 (1) 应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 ，，．‎ ‎ (2) ① 从 名运动员中随机抽取 人参加双打比赛的所有可能结果为 ，，，，，，，，，，，，，，，共 种．‎ ‎② 编号为 和 的两名运动员中至少有 人被抽到的所有可能结果为 ，，，，，，，，，共 种．‎ 因此，事件 发生的概率 ．‎ ‎【例2】抛掷两颗骰子，求：‎ ‎（1）点数之和出现7点的概率；‎ ‎（2）出现两个4点的概率.‎ ‎【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。‎ ‎【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元 素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.‎ ‎（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.‎ ‎（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.‎ ‎【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式 ‎【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：‎ ‎（1）他获得优秀的概率为多少；‎ ‎（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；‎ ‎【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.‎ ‎【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），‎ ‎（2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件． ‎ ‎（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故．‎ ‎（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故．‎ ‎【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.‎ ‎【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，‎ 右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==‎ ‎【例4】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.‎ ‎（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?‎ ‎（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.‎ ‎【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.‎ ‎【解析】（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为.‎ ‎（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为 ‎.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为.‎ ‎【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.‎ ‎【解析】把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4 . 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. ‎ 从6名同学中任选2名的所有可能结果如下：（1，2）, (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6), (2,3) ,(2,4),(2,5),(2,6), (3,4), (3,5),(3,6) ,(4,5), (4,6), (5,6),共15个. ‎ ‎（1）从6名同学中任选2名，都是书法比赛一等奖的所有可能是（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个。‎ ‎ 所以选出的2名志愿者都是书法比赛一等奖的概率 ‎ ‎(2) 从6名同学中任选2名，1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的所有可能是（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个。‎ 所以选出的2名志愿者1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的概率是 ‎ ‎ 类型二、与长度有关的几何概型 ‎1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 ‎2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。‎ ‎【例4】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 ‎ ‎【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。‎ ‎【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，‎ 不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF（此时F为OE中点），由几何概型公式得：。‎ ‎【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm的概率有多大？‎ ‎60cm ‎20cm ‎20cm ‎60cm ‎【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为60cm的绳子上的任意一点.‎ 如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于20cm”为事件A,‎ 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.‎ 由于中间一段的长度等于绳子长的,‎ 于是事件A发生的概率P(A)= .‎ ‎【例5】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r