2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据交集的基本运算进行求解。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于简单题。‎ ‎2．已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..‎ ‎3．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意画出韦恩图即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．‎ ‎4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．‎ ‎【详解】‎ A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；‎ B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；‎ C． 在其定义域上既是奇函数又是增函数；‎ D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．‎ ‎5．已知命题：“，有成立”，则命题为（ ）‎ A．，有成立 B．，有成立 C．，有成立 D．，有成立 ‎【答案】B ‎【解析】特称命题的否定是全称命题。‎ ‎【详解】‎ 特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定命题，属于基础题。‎ ‎6．若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，由于，所以，应选答案A 。‎ ‎7．已知原命题：已知，若，则，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断原命题的真假即可知逆否命题的真假，由原命题得出逆命题并判断真假，即可得否命题的真假。‎ ‎【详解】‎ 由题原命题：已知，若，则，为真命题，所以逆否命题也是真命题；‎ 逆命题为：已知，若，则，为真命题，所以否命题也是真命题。‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题之间的关系，解题的关键是掌握互为逆否的命题同真假，属于基础题。‎ ‎8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数在时取得最大值,在或时得,结合二次函数图象性质可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的图象是开口向下的抛物线.‎ 最大值为，且在时取得，而当或时，.‎ 结合函数图象可知的取值范围是．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.‎ ‎9．函数的单调递减区间为（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的导函数，令导函数小于零，解不等式即可得出单调递减区间。‎ ‎【详解】‎ 由题可得，令，即，解得或，又因为，故，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数求函数的单调区间，解题的关键是注意定义域，属于简单题。‎ ‎10．函数在上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求函数在给定闭区间上的最大值，可先求导，利用导函数研究函数的单调性，然后在区间上求极值，再和区间端点上的函数值比较得出最大值．‎ ‎【详解】‎ 由题可知，由解得或，‎ 由，解得，且当或，单调递增，‎ 时，单调递减，‎ 所以，，，，所以最大值为 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最大值，属于一般题．‎ ‎11．函数有极值的充要条件是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，即，应选答案C。‎ ‎12．设方程 的两个根为，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。‎ ‎【详解】‎ 画出函数与的图像，如图 ‎ ‎ 结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程 的两个根，结合图像可知，，‎ 根据是减函数可得，所以 ‎ 有图像可知 ‎ 所以即，‎ 则，所以，而 所以 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。‎ 二、填空题 ‎13．函数且的图象所过定点的坐标是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由知，解出，进而可知图象所过定点的坐标 ‎【详解】‎ 由可令，解得，所以图象所过定点的坐标是 ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质，属于简单题．‎ ‎14．已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，然后求出，进而求出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可得，‎ 令，则，解得，‎ 所以，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题。‎ ‎15．欧拉在1748年给出的著名公式(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数＝2.71828…，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，则复数在复平面内对应的点在第________象限．‎ ‎【答案】四 ‎【解析】由欧拉公式求出，再由复数的乘除运算计算出，由此求出复数在复平面内对应的点在几象限．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以， ‎ 所以，则复数在复平面内对应的点在第四象限．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的基本计算以及复数的几何意义，属于简单题．‎ ‎16．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎①，即，故正确；‎ ‎②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；‎ ‎③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；‎ ‎④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误。‎ 综上正确结论的序号是①②③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题。‎ 三、解答题 ‎17．已知是定义在上的奇函数，且当时，．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）解不等式．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数，所以可得；，进而求出解析式．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函数的单调性，利用单调性解不等式．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数 所以；‎ 当时，；‎ 所以 ‎（Ⅱ）易知当时，单调递增，又是定义在上的奇函数，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以不等式等价于，解得，‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，解题的关键是由奇偶性先求出解析式，属于一般题．‎ ‎18．已知命题：.‎ ‎（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设命题：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）若为真命题，结合对数函数的定义域可得，解不等式组求得答案；（Ⅱ）“”为真命题且“”为假命题，则真假或假真，解出命题，对真假和假真两种情况进行讨论，从而得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以可得 ，‎ 所以当命题为真命题时，解得；‎ ‎（Ⅱ）易知命题：.‎ 若为真命题且为假命题，则真假或假真，‎ 当真假时，，方程组无解；‎ 当假真时，，解得；‎ 综上，为真命题且为假命题时，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用命题与复合命题的真假关系求变量的取值范围，属于一般题．‎ ‎19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点作直线，与曲线交于两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用求曲线的普通方程；（Ⅱ）经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，可得，利用韦达定理求出，结合参数的几何意义得，计算整理即可得到直线的斜率，进而通过点斜式求出直线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，且，所以的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的倾斜角为，则经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，可得.‎ 由的几何意义知.‎ 因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，‎ 所以.‎ 由是中点，所以，即，解得 所以直线的斜率为，所直线的方程是，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程的互化，直线的参数方程，解题的一般思路是求出直线的参数方程代入圆锥曲线的普通方程，结合题意通过韦达定理解答。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可得，解方程组求得答案；（Ⅱ）在定义域内单调递增即在上恒成立，所以恒成立，进而求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ 依题意得，即 解得，故所求的实数；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎∵在定义域内单调递增 ∴在上恒成立 即恒成立 ‎∵时，，‎ ‎∴ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题．‎ ‎21．已知函数，为的导数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；‎ ‎（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．‎ ‎（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．‎ ‎（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，故在存在唯一零点.‎ 所以在存在唯一零点.‎ ‎（Ⅲ）由已知，转化为， 且的对称轴所以 . ‎ 由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，所以当时，.‎ 所以，即，因此，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．‎ ‎22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转后得射线，其中也在圆上，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）先求出圆的普通方程，再，由求得极坐标方程。‎ ‎（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，借助两角和的余弦公式与辅助角公式化简可得，再结合角的取值范围得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知圆的普通方程为，由得，，即圆的极坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，‎ 于是，‎ 又，所以，所以当，即时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与极坐标方程的转化，以及通过三角函数求最值问题，属于一般题。‎