黑龙江省齐齐哈尔市龙江二中2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试卷 14页

数学理科试卷 ‎（考试时间：120分钟；满分：150分）‎ 一、单项选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线渐近线的求法，求得双曲线的渐近线.‎ ‎【详解】令，解得，即双曲线的渐近线为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的求法，属于基础题.‎ ‎2.已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.‎ ‎【详解】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一个焦点的距离为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎3.过点作直线，与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（ ）‎ A. 0条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：：∵点在抛物线的外部，∴与抛物线C：只有一个公共点的直线有三条，分别是有两条直线与抛物线相切，有一条直线与抛物线的对称轴平行，‎ 考点：直线与抛物线的位置关系 ‎4.若，，，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 15 C. 7 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，由此求得的值的值.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查空间向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎5.已知两异面直线的方向向量分别为，，且，，则两直线的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量的夹角公式，求得两个向量，夹角的余弦值，进而求得异面直线夹角的余弦值，由此求得两条直线的夹角.‎ ‎【详解】依题意，设两条异面直线所成的角为，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.‎ ‎6.已知，，，当和5时，点轨迹为（ ）‎ A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线 C. 双曲线一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及，结合双曲线的定义对的轨迹进行判断，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】，当时，，根据双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的一支.当时，，所以的轨迹为一条射线.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.‎ ‎7.椭圆上的点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（ ）‎ A. 8，2 B. 5，4 C. 5，1 D. 9，1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是，选出正确答案.‎ ‎【详解】依题意，所以到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查根据椭圆方程求，考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的焦距求得，根据双曲线的渐近线方程求得，结合求得的值，进而求得双曲线的方程.‎ ‎【详解】由于焦距为，所以.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，代入得，所以双曲线的方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查根据双曲线焦距、渐近线方程求双曲线的标准方程，属于基础题.‎ ‎9.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．‎ 考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．‎ ‎10.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ ‎11.已知点在抛物线的准线上，焦点为，若点在抛物线上，且满足，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点坐标求得准线方程，由此求得的值，进而求得抛物线方程.根据抛物线的定义求得点的纵坐标，代入抛物线方程，求得点的坐标.‎ ‎【详解】由于点在抛物线的准线上，所以抛物线的准线方程为，故，所以抛物线方程为，焦点坐标为.由于点在抛物线上，且满足，根据抛物线的定义可知，的纵坐标为，代入抛物线方程得，，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎12.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,再利用两个向量的数量积的定义求得结果.‎ ‎【详解】解：‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.‎ 二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知，，且与互相垂直，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别用坐标法表示与,再根据求解即可 ‎【详解】由题,可得,‎ 因为与互相垂直,则,即,即 故答案为 ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查由向量垂直求参,考查运算能力 ‎14.在平面直角坐标系中，，，的边满足.则点的轨迹方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义求得点的轨迹方程，并根据三点不共线，对特殊点进行排除.‎ ‎【详解】由于，即，由于三点不共线，所以根据椭圆定义可知，的轨迹为焦点在轴上的椭圆,除长轴的两个顶点外的部分.依题意，所以点的轨迹方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查定义法求轨迹方程，考查椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎15.已知，，，，，则______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的坐标，由此求得两者的数量积.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间向量加法、减法、数乘以及数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎16.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线与椭圆的一个公共点，则的面积等于______.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程求得焦距，联立双曲线和椭圆的方程，求得一个公共点的纵坐标，由此求得的面积.‎ ‎【详解】由于双曲线方程为，所以，所以焦距.由解得（不妨取正值），所以的面积等于.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的焦点，考查双曲线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的计算，属于基础题.‎ 三、解答题（本题共5道小题，总分70分）‎ ‎17.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程．‎ ‎【答案】m＝±2；抛物线的方程为x2＝﹣8y；准线方程为y＝2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设抛物线的标准方程为x2＝-2py，p＞0；根据抛物线的定义求得p的值，写出抛物线标准方程和准线方程，再把点M的坐标代入抛物线方程求得m的值．‎ ‎【详解】由题意，设抛物线的标准方程为x2＝-2py，p＞0；‎ 且抛物线上一点M（m，﹣3）到焦点的距离为5，‎ 则点M到准线的距离也为5，即|﹣3|＝5，‎ 解得p＝4，‎ ‎∴抛物线的标准方程为x2＝﹣8y，‎ 准线方程为y＝2；‎ 把点M的坐标代入抛物线方程，‎ 得m2＝﹣8×（﹣3），‎ 解得m＝±2．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题．‎ ‎18.已知，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) c＝(3，－2,2);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用向量共线、垂直的条件，求出的值，即可求出；（2）分分别求出的坐标，利用公式求出．‎ 试题解析：（1）因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2,－4,－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．‎ ‎（2）由（1）得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.‎ ‎19.椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）‎ ‎（1）求椭圆标准方程．‎ ‎（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为：+=1，‎ ‎（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．‎ ‎（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ 解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），‎ 则2a=+=2，‎ 即a=，‎ 又∵c=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=6，‎ 故椭圆的标准方程为：+=1，‎ ‎（2）由（1）得：‎ 椭圆的长轴长：2，‎ 短轴长2，‎ 离心率e==．‎ 考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎20.在正方体中，已知、、、分别是、、和的中点．‎ 证明：（1），；‎ ‎（2）平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，通过直线的方向向量共线，证得两条直线平行；通过直线的方向向量的数量积为零，证得两条直线垂直.‎ ‎（2）通过计算，，即证得，，从而证得平面.‎ ‎【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则、、、、、、、，由中点性质得、，，.‎ ‎（1）则，，，‎ 因为，，‎ 所以，，‎ 即，.‎ ‎（2）因为，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，.‎ 又，所以平面.‎ 点睛】本小题主要考查空间向量法证明线线平行、垂直以及证明线面垂直，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【答案】（1） （2）1或－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由得．‎ 设点M，N的坐标分别为，，则，，，．‎ 所以|MN|===．‎ 由因为点A（2,0）到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．‎ ‎ ‎