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- 2021-06-11 发布
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2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题
之大题易丢分
1.【题文】已知，且，设命题p：函数在上单调递减；命题q：函数 在上为增函数，
（1）若“p且q”为真，求实数c的取值范围
（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【答案】（1）；（2）
试题解析：
（1）∵函数y＝cx在R上单调递减，∴00且c≠1，∴ p: c>1, q： 且c≠1.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．
当p真，q假时，{c|01}∩{c|00，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
点睛：本题主要考查了直线的截距式方程的应用，其中解答中涉及到直线与坐标轴围成的三角形的面积和三角形的周长问题，以及方程组的求解等知识点的综合应用，解答中熟记直线的截距式方程和方程组的求解是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.
10．【题文】已知圆的圆心在直线上，且与另一条直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1) 圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2) （x﹣3）2+（y﹣1）2=.
【解析】试题分析：（1）由题意可知所求圆的圆心在经过点，且与直线垂直的直线上，又所求圆的圆心在直线上，解方程组求出圆心，求出半径，即的长，可得圆的方程；
（2）设，则有代入圆 即可得到线段的中点的轨迹方程.
试题解析：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
根据题意得：，
解得：，
则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=；
（2）设M（x，y），B（x0，y0），则有代入圆C方程得：（2x﹣5）2+（2y﹣4）2=8，化简得（x﹣3）2+（y﹣1）2=
11．【题文】已知与曲线相切的直线，与轴， 轴交于两点， 为原点， ， ，（ ）.
（1）求证:： 与相切的条件是： .
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求三角形面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
试题解析：
(1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。
内切圆的半径，
即，
即，
．
(2)线段AB中点为
∴（）
(3) ，
，
解得， ，
，
最小面积．
点睛：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆位置关系的判断，点到直线的距离公式的用法，解题的关键是对等式进行灵活变换，利用基本不等式求函数的最值.
12．【题文】已知动圆：与圆：交于 、两点，且这两点平分圆的圆周．
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）求圆半径最小时的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意得圆心为弦的中点，故，由此可得点M的轨迹方程；（2）由（1）知圆M的半径为，故求出的值即可，由于，所以，从而，所以当，时半径最小，由此可得解。
试题解析：
圆方程即为,
圆方程即为.
（1）由题意得，圆心为弦的中点，
在中，
∵，
∴（*）
故动圆圆心的轨迹方程为．
13．【题文】已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点， 分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】（1）由，右焦点为，求出， ，可得，即可求出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，设，可得根与系数的关系，根据题意得，易知，四边形为平行四边形，则，结合向量数
量积公式及，即可求出的取值范围.
由题意得，
∴.
又∵，
∴.
∴椭圆的方程为.
（2）由 得.
设.所以，
依题意， ，易知，四边形为平行四边形，所以.
∵， ，
∴.
即 ，
将其整理为 .
∵
∴， .
∴，即.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
14．【题文】已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2) 为定值，该定值为0
【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k1+k2=0．
试题解析：
（1）依题意，
解得，故椭圆的方程为；
（2），下面给出证明：设， ，
将代入并整理得，
，解得，且
故， ，
则，
分子=
，
故为定值，该定值为0.
15．【题文】已知圆： 过圆上任意一点向轴引垂线垂足为（点、可重合），点为的中点.
（1）求的轨迹方程；
（2）若点的轨迹方程为曲线，不过原点的直线与曲线交于、两点，满足直线， ， 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）面积的取值范围为.
试题解析：
（1）设，则，则有： ，整理得： .
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为（），， ，
由消去得
则 ，且，
.
故
因为直线， ， 的斜率依次成等比数列，
即，又，所以，即.
由于直线， 的斜率存在，且，得且，设为到直线的距离， ，
则，所以面积的取值范围为.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
16．【题文】设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义，求出抛物线的解析式即可；（2）求出直线的方程，求出的坐标，联立方程组，求出的坐标，求出直线的斜率，得到关于的不等式，求出
的范围即可．
试题解析：（1）过点作直线垂直于直线于点，由题意得，
所以动点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.
所以抛物线的方程为.
（2）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.
则，当，则.
联立方程，整理得： .
即： ，解得或.
∴，而，∴直线斜率为.
∴ ，
联立方程，
整理得： ，
即： ， ，
解得： ，或.
∴
∴ .
而抛物线在点处切线斜率： ，
是抛物线的切线， ∴，
整理得，
∴，解得 (舍去)，或，∴.
17．【题文】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过三点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在直线上任取一点,连接,分别与椭圆交于两点,判断直线是否过定点?若是,求出该定点.若不是,请说明理由.
【答案】（1）；（2）
（2）直线，直线，联立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，
当时， ， ，所以三点共线；
当时， ， 三点共线；
综上， 三点共线也就是过定点.
点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中，如果已知动直线过定点且与圆锥曲线有另一个交点，那么通过韦达定理可以求出另一个交点的坐标并用斜率表示它，从而考虑与该点相关的一些定点定值问题.另外，我们用先猜后证的策略考虑定点定值问题，因此这样可以使得代数式变形化简的目标更明确.
18．【题文】已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值．
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意， ，又，解得即得椭圆标准方程（2）设直线的方程为，设， ，联立得，写出韦达定理，因为，∴，∴ ，
，∴，解得则
=，结合即得解.
试题解析：
（1）由题意， ，又，解得， ，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，设， ，
联立得，
，
， ，
∵，∴，∴ ，
，
∴，∴，∴，
设原点到直线的距离为，则
，
∴，即四边形的面积为定值．
19．【题文】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）记的斜率分别为，试问： 的值是否随直线位置的变化而变化？证明你的结论.
【答案】（1）；（2）的值不随直线的变化而变化，证明见解析.
【解析】试题分析（1）设，代入抛物线的方程，利用弦长公式，结合，即可求解的值，得出直线的方程；
（2）利用斜率公式，结合韦达定理，由此可得到为定值.
（2）∵，∴
，
∴的值不随直线的变化而变化.
点睛：本题主要考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，其中解答中涉及到直线与圆锥曲线的弦长公式，以及二元一次方程中根与系数的关系等关系的应用，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想，试题综合性强，属于中档试题，解答中把直线与圆锥曲线问题转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.
20．【题文】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）时， ， 的长为定值．
试题解析：（1）∵点，∴，解得，
故抛物线的方程为： ，当时，，
∴的方程为，联立可得， ，
又∵， ，∴．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则， ，①
由得： ，
整理得，②
将①代入②解得，∴直线，
∵圆心到直线l的距离，∴，
显然当时， ， 的长为定值．
点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
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