【数学】2018届一轮复习人教A版 基本不等式 学案 8页

第3讲　基本不等式：≤ 最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)‎ ‎(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)‎ ‎(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.(　　)‎ ‎(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)‎ 解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；‎ 不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.‎ ‎(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.‎ ‎(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.‎ ‎(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A.80 B‎.77 ‎ C.81 D.82‎ 解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.‎ 答案　C ‎3.(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A.2 B‎.3 ‎C.4 D.5‎ 解析　因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.‎ 答案　C ‎4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A.1＋ B.1＋ C.3 D.4‎ 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.‎ 答案　C ‎5.(必修5P‎100A2改编)一段长为‎30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长‎18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.‎ 解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.‎ 答案　15　 ‎6.(2017·浙江五校联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.‎ 解析　∵正数x，y满足x＋y＝1，‎ ‎∴y＝1－x，01)的最小值为________.‎ 解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.‎ ‎(2)y＝＝ ‎＝ ‎＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.‎ 答案　(1)　(2)2＋2‎ 考点二　常数代换或消元法求最值 ‎【例2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.‎ ‎(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.‎ 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y) ‎＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ‎≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎(2)由已知得x＝.‎ 法一　(消元法)‎ 因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，‎ 所以x＋3y＝＋3y ‎＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，‎ 当且仅当＝3(y＋1)，‎ 即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 法二　∵x＞0，y＞0，‎ ‎9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立.‎ 设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，‎ 又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案　(1)5　(2)6‎ 规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.‎ 易错警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.‎ ‎【训练2】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________.‎ ‎(2)(2016·东阳检测)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A.8 B‎.4 ‎ C.2 D.0‎ 解析　(1)(常数代换法)‎ 因为x>0，y>0，且x＋y＝1，‎ 所以＋＝(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2＝18，‎ 当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，‎ 所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.‎ ‎(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.‎ ‎∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.‎ 答案　(1)18　(2)A 考点三　基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶‎130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.‎ 解　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50，100].‎ 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]‎ ‎(或y＝＋x，x∈[50，100]).‎ ‎(2)y＝＋x≥26，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18时等号成立.‎ 故当x＝‎18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.‎ 规律方法　(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.‎ ‎(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.‎ ‎【训练3】 (2017·湖州月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.‎ ‎(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；‎ ‎(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.‎ 解析　(1)当l＝6.05时，F＝，‎ ‎∴F＝＝≤＝1 900，‎ 当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”.‎ ‎∴最大车流量F为1 900辆/时.‎ ‎(2)当l＝5时，F＝＝，‎ ‎∴F≤＝2 000，‎ 当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”.‎ ‎∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时.‎ 答案　(1)1 900　(2)100‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.‎ ‎2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.‎ ‎3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.‎ ‎2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. ‎