2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题17 函数、数列、三角函数中大小比较问题（讲）（解析版） 9页

专题18 函数、数列、三角函数中大小比较问题 ‎ 纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1 函数中的大小比较问题 函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.‎ 1.1 ‎ 指数函数中的大小比较问题 ‎ 比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．‎ 例、设，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a ‎【答案】A 解析：构造指数函数，由该函数在定义域内单调递减可得b0时，有x>x，故>，即a>c，故a>c>b.‎ 例、已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)‎ A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0‎ C．2－a<2c D．2a＋2c<2‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，‎ ‎∵af(c)>f(b)，结合图象知，‎ ‎00，∴0<2a<1.‎ ‎∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.‎ 例、设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)‎ A．f0，d>0，前n项和为Sn，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4，前n项和为Tn，则(　　)‎ A．S4>T4 B．S41，数列{bn}单调递增，又S4－T4＝a2＋a3－(b2＋b3)＝a1＋a4－a1q－＝a1(1－q)＋a4＝(a4－a1q)＝(b4－b2)>0，所以S4>T4.‎ 法二：不妨取an＝7n－4，则等比数列{bn}的公比q＝＝2，所以S4＝54，T4＝＝45，显然S4>T4，选A.‎ ‎1.6 三角函数中的比较大小问题 例、已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是(　　)‎ A．α<<β B．β<<α C．<α<β D．<β<α ‎【答案】B ‎【解析】因为α为锐角，sinα－cosα＝>0，所以α>。又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，所以 tan(α＋β)＝＝，所以α＋β＝，又α>，所以β<<α。故选B。‎ 例、若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是(　　)‎ A．sinαOM>MP，故有sinα