【推荐】专题10+解密利用基本不等式求最值技巧-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x 15页

一、选择题 ‎1．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017-2018学年高二第一次月考】下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ A. y=x+ B. y=sinx+（0＜x＜π） C. y=ex+4e﹣x D. y=+‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A，当时， ，无最小值；‎ 对于B，令t= sinx，由0＜x＜π知,易知在时，单调递减， , 故不成立；‎ 对于D , 当且仅当x=1时“=”成立，易知最小值为，不成立.故选C 点睛：注意重要不等式取最到最值的条件.‎ ‎2．【辽宁省重点高中协作校2018届高三上学期第一次阶段考】设，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017-2018学年高二第一次月考】已知正实数a，b满足，则的最小值为 （ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,知，而，令，则易知在单调递减，故，故选D。‎ 点睛：在不能应用重要不等式求某个式子的最值时，要注意函数思想的使用，将问题转化为求函数最大值最小值问题.‎ ‎4．【山西大学附属中学2017-2018学年高二上学期9月月考】已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由和4的等比中项为可得，则，‎ ‎，故选A.‎ ‎5．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二上学期第一次模块检测】若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎6．已知，，且，则的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，则：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 综上可得：则的最小值为9.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎7．【安徽省合肥市2018届高三调研】已知，则的最小值为（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：解答本题的关键是变形，也是解答这个问题的难点所在。通过这一巧妙变形从而将原式化为，然后巧妙运用分组组合，借助基本不等式求出其最小值为。‎ 二、填空题 ‎8．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中】设均为正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】均为正数，且， ，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），，当且仅当时取等号，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.‎ 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎9．【江西省横峰中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知a＞b＞0，则a2＋取最小值时b的值为________．‎ ‎【答案】2‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎10．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二调研】已知且，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误。‎ ‎11．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二调研】函数的最大值为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】，‎ 当且仅当，即时，“＝”成立 ‎12．【浙江省绍兴蕺山外国语学校2016-2017学年高一下学期期中】已知，，则的最小值是________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意可得：‎ 当且仅当时等号成立.‎ 据此可得的最小值是4.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎13．【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考】设是正实数，满足，则的最大值为_______．‎ ‎【答案】‎ 点睛：利用基本不等式解题时要注意“一正二定三相等”的条件，当连续使用基本不等式时要注意等号是否能同时成立。‎ ‎14．【江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研】已知正数满足，则 的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ,当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为. ‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎15．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考】已知两正实数，满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查了基本不等式的应用求最值问题，其中解答中涉及到基本不等式求解最值和利用导数研究函数的最值问题，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中合理变形，转化为函数求解最值是解答的关键.‎ ‎16．【浙江省余杭二高2017年9月高二检测】已知正实数满足，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当且仅当时取等号，因此所求最小值为．‎ ‎17．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】若正实数满足，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ ‎，即，‎ ‎，且，‎ ‎，即的最小值为。‎ 点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）。熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率。‎ ‎18．【2017江苏省镇江市10月高三数学月考】已知为正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎19．【江苏省东台市创新学校2017-2018学年高二9月月考】已知x＞﹣1，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，当且仅当，即舍去）时取等号， 的最小值为，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎20．【浙江省温州市2018届高三一模】已知（，），则的最大值为 ‎__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】，，当时等号成立，所以的最大值为，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查幂指数的运算、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎21．【四川省南充市2018届高三高考适应性考试】已知，方程为的曲线关于直线对称，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ 故答案为：‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎22．【福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高一期末联考】设的最小值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，∵，∴ ，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ 三、解答题 ‎23．【江西省横峰中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】(1)求函数的最小值；‎ ‎（2）已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：.‎ ‎【答案】（1）9；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；‎ ‎（2）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论．‎ ‎（2）证明　∵(x＋y＋z)‎ ‎＝14＋＋＋＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36，‎ ‎∴＋＋≥36，当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．‎ ‎24．【江西省横峰中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知x>0，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵x>0‎ ‎∴‎ 当且仅当即x=2时取等号 故的最大值为 故答案为：.‎ ‎25．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一期末】已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:‎ ‎(1) xy的最小值;‎ ‎(2)x+ y的最小值.‎ ‎【答案】 (1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；‎ ‎（2）由2x+8y=xy，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ ‎ ‎ ‎26．【陕西省西北农林科技大学附属中学2016-2017学年高二期末】已知不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＞1} ‎ ‎（1）求实数a，b的值； ‎ ‎（2）若0＜x＜1，，求f（x）的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）9.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案. ‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎ ‎