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2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高三(上)期中数学模拟试卷(文科)
一、填空题
1.已知集合A={2,3},B={1,a},若A∩B={2},则A∪B= .
2.已知复数z满足(3+4i)z=1(i为虚数单位),则z的实部为 .
3.某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 .
4.函数f(x)=lg(﹣x2+2x+3)的定义域为 .
5.如图是一个算法流程图,则输出的x的值是 .
6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),观察向上的点数,则两个点数之积不小于10的概率为 .
7.底面边长为2,高为1的正四棱锥的表面积为 .
8.在平面直角坐标系xOy中,以直线y=±2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是 .
9.在等式中,x>0,y>0,若x+y的最小值为,则m的值为 .
10.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是 .
11.曲线﹣y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且满足PF1+PF2=2,则△PF1F2的面积为 .
12.在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,则5a1+a5的最大值为 .
13.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||, •=•=•=﹣2,动点P,M满足||=1, =,则||2的最大值是 .
14.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
二、解答题
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA.
(1)求角A的大小;
(2)若•=,求△ABC的面积.
16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.
(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:DN⊥平面PCB.
17.如图,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CDEF地块进行绿化.
(1)若要使矩形地块的面积不小于300平方米,求CF长的取值范围;
(2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路MN,把矩形地块分成面积为1:3的两部分,且点M在边CF上,点N在边CD上,求MN的最小值.
18.已知椭圆E:过点P (1,),离心率e=,右顶点为A,右焦点为F.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若经过F的直线l(不与x轴重合)交椭圆E与B,C两点,延长BA,CA,分别交右准线于M,N两点.求证:FN⊥FM.
19.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,….
(1)求证:数列{}为等比数列;
(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大的正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am﹣1,as﹣1,an﹣1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
20.已知函数f(x)=ax3﹣x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,求a的取值范围.
2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高三(上)期中数学模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题
1.已知集合A={2,3},B={1,a},若A∩B={2},则A∪B= {1,2,3} .
【考点】集合关系中的参数取值问题;并集及其运算;交集及其运算.
【分析】先通过A∩B={2}得出a=2,进而解得a,再求得集合A,B,再取并集.
【解答】解:∵A∩B={2}
∴a=2,
∴A={3,2},B={1,2}
∴A∪B={1,2,3}
故答案为:{1,2,3}
2.已知复数z满足(3+4i)z=1(i为虚数单位),则z的实部为 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出.
【解答】解:∵(3+4i)z=1,∴(3﹣4i)(3+4i)z=3﹣4i,∴z=﹣i,
∴z的实部为.
故答案为:.
3.某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 93 .
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可.
【解答】解:抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为人,
故答案为:93
4.函数f(x)=lg(﹣x2+2x+3)的定义域为 (﹣1,3) .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】要使函数有意义,则需﹣x2+2x+3>0,解出即可得到定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则需
﹣x2+2x+3>0,
解得,﹣1<x<3.
则定义域为(﹣1,3).
故答案为:(﹣1,3).
5.如图是一个算法流程图,则输出的x的值是 59 .
【考点】程序框图.
【分析】根据题意,模拟程序框图的运行的过程,即可得出程序运行后输出的结果.
【解答】解:模拟程序框图的运行的过程,如下;
x=1,y=1,y<50,Y;
x=2×1+1=3,y=2×3+1=7,y<50,Y;
x=2×3+7=13,y=2×13+7=33,y<50,Y;
x=2×13+33=59,y=2×59+33=151,y<50,N;
输出x=59.
故答案为:59.
6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),观察向上的点数,则两个点数之积不小于10的概率为 .
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】基本事件总数,列表求出两个点数之积不小于10包含的基本事件有15个,由此能求出两个点数之积不小于10的概率.
【解答】解:同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),
观察向上的点数,基本事件总数n=6×6=36,列表如下:
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
两个点数之积不小于10包含的基本事件有15个,
∴两个点数之积不小于10的概率p==.
故答案为:.
7.底面边长为2,高为1的正四棱锥的表面积为 .
【考点】棱锥的结构特征.
【分析】正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积,即可得出结论.
【解答】解:如图,正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积,
而一个侧面积为:×BC•VE=×2×=;
∴S=.
故答案为:.
8.在平面直角坐标系xOy中,以直线y=±2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是 .
【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质.
【分析】设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为(λ≠0),再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0),能求出双曲线方程.
【解答】解:设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为(λ≠0),
∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0),
∴1=λ,
∴双曲线方程为:.
故答案为:.
9.在等式中,x>0,y>0,若x+y的最小值为,则m的值为 30 .
【考点】基本不等式.
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x>0,y>0,∴x+y===,当且仅当>0时取等号.
∴,解得m=30.
故答案为30.
10.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是 相交 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.
【解答】解:圆的标准方程为M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0),
则圆心为(0,a),半径R=a,
圆心到直线x+y=0的距离d=,
∵圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,
∴2=2
即a2=4,a=2,
则圆心为M(0,2),半径R=2,
圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1,
则MN=,
∵R+r=3,R﹣r=1,
∴R﹣r<MN<R+r,
即两个圆相交.
故答案为:相交.
11.曲线﹣y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且满足PF1+PF2=2,则△PF1F2的面积为 1 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点,然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式,然后分别求解,最后得出|PF1||PF2|=2,解出结果.
【解答】解:不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点,
P为右支上一点,
|PF1|﹣|PF2|=2①
|PF1|+|PF2|=2②,
由①②解得:
|PF1|=+,|PF2|=﹣,
得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,
∴PF1⊥PF2,
又由①②分别平方后作差得:
|PF1||PF2|=2,
则△PF1F2的面积为S=|PF1||PF2|==1,
故答案为:1
12.在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,则5a1+a5的最大值为 200 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】易得2a1+d≤60,2a1+3d≤100,待定系数可得5a1+a5=(2a1+d)+(2a1+3d),由不等式的性质可得.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0,
又a1+a2≤60,a2+a3≤100,∴2a1+d≤60,2a1+3d≤100,
∴5a1+a5=6a1+4d=x(2a1+d)+y(2a1+3d)=(2x+2y)a1+(x+3y)d,
∴2x+2y=6,x+3y=4,解得x=,y=,
∴5a1+a5=(2a1+d)+(2a1+3d)≤=200
故答案为:200
13.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||, •=•=•=﹣2,动点P,M满足||=1, =,则||2的最大值是 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由||=||=||, •=•=•=﹣2,可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣).由动点P,M满足||=1, =,可设:P(2+cosθ,sinθ).M.再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵||=||=||, •=•=•=﹣2,
∴可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣),
动点P,M满足||=1, =,
可设:P(2+cosθ,sinθ).M.
∴=.
则||2=+
=≤,当且仅当=1时取等号.
故答案为:.
14.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 (3,+∞) .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出函数f(x)=的图象,依题意,可得4m﹣m2<m(m>0),解之即可.
【解答】解:当m>0时,函数f(x)=的图象如下:
∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,
∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,
必须4m﹣m2<m(m>0),
即m2>3m(m>0),
解得m>3,
∴m的取值范围是(3,+∞),
故答案为:(3,+∞).
二、解答题
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA.
(1)求角A的大小;
(2)若•=,求△ABC的面积.
【考点】正弦定理.
【分析】(1)根据正弦定理结合两角和差的正弦公式,即可求角A的大小;
(2)若•=,根据向量的数量积,求出AB•AC的大小即可,求△ABC的面积
【解答】解:(1)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,
即sin(B+C)=2sinAcosA,
则sinA=2sinAcosA,
在三角形中,sinA≠0,
∴cosA=,
即A=;
(2)若•=,
则AB•ACcosA=AB•AC=,
即AB•AC=2,
则△ABC的面积S=AB•ACsinA==.
16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.
(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:DN⊥平面PCB.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)利用三角形的中位线性质证明MN∥AB,再由已知条件和公理4证明MN∥CD,再利用直线和平面平行
的判定定理证得MN∥平面PCD.
(2)由(1)可得MN∥CD.先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD,从而证得CD⊥MD,从而
得到四边形MNCD是直角梯形.
(3)由条件求得∠PAD=60°,利用勾股定理求得DN⊥CN.在Rt△PDB中,由PD=DB=,N是PB的中点,
证得DN⊥PB,再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB.
【解答】证明:(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.…
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又CD⊂平面PCD,而MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.…
(2)由(1)可得MN∥CD.
因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD. 又因为PD⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.…
因为MD⊂平面PAD,所以CD⊥MD,所以四边形MNCD是直角梯形.…
(3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而∠PAD=60°. …
在Rt△PDA中,AD=,,,.
在直角梯形MNCD中,MN=1,,CD=3,,
从而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN. …
连接BD,在Rt△PDB中,PD=DB=,N是PB的中点,则DN⊥PB.…
又因为PB∩CN=N,所以DN⊥平面PCB. …
17.如图,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CDEF地块进行绿化.
(1)若要使矩形地块的面积不小于300平方米,求CF长的取值范围;
(2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路MN,把矩形地块分成面积为1:3的两部分,且点M在边CF上,点N在边CD上,求MN的最小值.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)设CF=x,则BF=40﹣x,由矩形的面积公式建立关系式,利用矩形地块的面积不小于,求解可得AN的取值范围;
(2)CM=m,CN=n,则有,利用均值不等式(注意条件,正,定,相等)可求出相应的最小值.
【解答】解:(1)设CF=x,则BF=40﹣x.
因为∠ABC=60°,所以,所以.
由于矩形地块的面积不小于,所以有,
解得CF长度的取值范围为[10,30];
(2)由(1)可知(x∈(0,40)),
当x=20时取最大值.所以矩形地块的面积最大值为.
由题意可知,当矩形的面积被分为两块的面积之比为1:3时,
则有=.
设CM=m,CN=n,则有(0<m<20,0<n<20),
所以=,当且仅当时取最小值.
18.已知椭圆E:过点P (1,),离心率e=,右顶点为A,右焦点为F.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若经过F的直线l(不与x轴重合)交椭圆E与B,C两点,延长BA,CA,分别交右准线于M,N两点.求证:FN⊥FM.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(1)利用椭圆E:过点P (1,),离心率e=,确定椭圆的几何量,即可求椭圆E的标准方程;
(2)分类讨论,确定直线BA、CA的方程,求出M、N的坐标,利用验证向量的数量积为0,即可证得结论.
【解答】(1)解:由题意,∵椭圆E:过点P (1,),离心率e=,
∴,
∵a2=b2+c2
∴a2=4,b2=3
∴椭圆E的标准方程为.…
(2)证明:由(1)知,A(2,0),F(1,0),右准线方程为x=4.
当直线l与x轴垂直时,l方程为x=1,可得B,C两点坐标分别为,.
所以直线BA方程为,当x=4时,得y=﹣3,即M(4,﹣3);
直线CA方程为,当x=4时,得y=3,即N(4,3).
因此
∴,即FN⊥FM.…
当直线l与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0).
由题意得,解之得x=,代入直线l方程得
B(),C().…
直线BA方程为,
当x=4时,得M(4,),所以=(3,).…
同理可求得=(3,). …
∴=9+=9+=0,
∴FN⊥FM.
综上,对于任意与x轴不重合的直线l,都有FN⊥FM.…
19.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,….
(1)求证:数列{}为等比数列;
(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大的正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am﹣1,as﹣1,an﹣1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
【考点】等比关系的确定;数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合.
【分析】(1)根据an+1和an关系式进行化简,
(2)先由(1)得出数列{}的通项公式,然后根据分组方法求出Sn,解不等式Sn<100即可;
(3)假设存在正整数m,s,n,根据等比数列性质得出(am﹣1)•(an﹣1)=(as﹣1)2并化简,再根据a+b≥2,确定是否存在.
【解答】解:(1)∵,∴,
∵,∴,
∴,
∴数列为等比数列.
(2)由(1)可求得,∴. =,
若Sn<100,则,∴nmax=99.
(3)假设存在,则m+n=2s,(am﹣1)•(an﹣1)=(as﹣1)2,
∵,∴.
化简得:3m+3n=2•3s,
∵,当且仅当m=n时等号成立.
又m,n,s互不相等,∴不存在.
20.已知函数f(x)=ax3﹣x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,求a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)利用导数求出x=2处的斜率,根据点斜式写出切线方程;
(2)要使对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2;利用导数判断单调性求出f(x)的最大值即可.
【解答】解:(1)由a=1,所以f(x)=x3﹣+1,f(2)=3;
又f'(x)=3x2﹣3x,所以k=f'(x)=6;
所以切线方程为y﹣3=6(x﹣2);
切线方程为:y=6x﹣9.
(2)f'(x)=3ax2﹣3x
令f'(x)=3ax2﹣3x=0;⇒x1=0,x2=;
因为a>0,所以y=f(x)在(﹣∞,0],[,+∞)递增,在(0,)递减;
要使对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2,
1°.当时,即0<a≤2时,y=f(x)在[﹣1,0]递增,在(0,)递减;
f(x)max=f(0)=1<a2 所以1<a≤2;
2°.当时,即a>2时,y=f(x)在[﹣1,0]递增,在(0,)递减,在[,]递增;
,f()==f(0)=1⇒a=3;
①当2<a<3时, =f(0)=1<a2 所以2<a<3;
②当a≥3时, =f()<a2,
即8a2﹣a﹣5>0 对∀a≥3都成立;
综合1,2得:a>1
2016年11月18日