专题44 随机事件的概率-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过 16页

考点44随机事件的概率 ‎（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.‎ ‎（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ 一、随机事件及其概率 ‎1．事件的分类 ‎2．频率与概率 ‎（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.‎ ‎（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.‎ 注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.‎ 二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或A·B)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.‎ 三、概率的基本性质 ‎1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.‎ ‎2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多 个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.‎ ‎3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.‎ 考向一由频率估计随机事件的概率 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.‎ 典例1某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:‎ 抽取球数n ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎2000‎ 优等品数m ‎45‎ ‎92‎ ‎194‎ ‎470‎ ‎954‎ ‎1902‎ 优等品频率 ‎(1)计算表中乒乓球优等品的频率;‎ ‎(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)‎ 典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:‎ 所用时间(分钟)‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ 选择L1的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择L2的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;‎ ‎(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;‎ ‎(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.‎ 所用时间(分钟)‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;‎ B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.‎ 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,‎ P(A2)=0.1+0.4=0.5,‎ ‎∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1;‎ P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,‎ P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,‎ ‎∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.‎ ‎1．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为. ‎ ‎(1)求频率分布直方图中的值;‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;‎ 考向二 事件间的关系及运算 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. 具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ 典例3判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.‎ 已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中 ‎(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;‎ ‎(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;‎ ‎(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;‎ ‎(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.‎ ‎(2)不是互斥事件,也不是对立事件.‎ 理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.‎ ‎(3)不是互斥事件,也不是对立事件.‎ 理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.‎ ‎(4)是互斥事件,也是对立事件.‎ 理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们既是互斥事件,又是对立事件.‎ ‎2．掷一粒骰子,用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系,并说明二者之间是否构成对立事件.‎ ‎(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数” ;‎ ‎(2)“朝上的一面的数字不大于 4 ”与“朝上的一面的数字大于 4”.‎ 考向三 概率加法公式的应用 概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．‎ 求复杂事件的概率通常有两种方法：（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.‎ 典例4某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.‎ ‎（1）若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;‎ ‎(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.‎ ‎【解析】（1）当日需求量n时,利润y=6×17=102;‎ 当日需求量时,利润y=12n-102,‎ 所以y关于n的函数解析式为y=(n.‎ ‎（2）(i)这100天中有10天的日利润为66元,20天的日利润为78元,16天的日利润为90元,54天的日利润为102元,‎ 所以这100天的日利润的平均数为.‎ ‎(ii)当天利润不少于92元即12n-102,即n,‎ 所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54. ‎ 典例5在数学考试中,小明的成绩不低于90分的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:‎ ‎(1)小明在数学考试中成绩不低于80分的概率;‎ ‎(2)小明数学考试及格的概率.‎ ‎ (1)小明的成绩不低于80分的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.‎ ‎(2)方法一：小明数学考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.‎ 方法二：小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93.‎ ‎3．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:‎ 年降水量(mm)‎ ‎[100,150)‎ ‎[150,200)‎ ‎[200,250)‎ ‎[250,300]‎ 概率 ‎0.10‎ ‎0.25‎ ‎0.20‎ ‎0.12‎ ‎(1)求年降水量在[200,300]内的概率;‎ ‎(2)求年降水量在[100,250)内的概率.‎ ‎1．下列说法正确的是 A．互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 B．互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 C．事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小 D．事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 ‎2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是 A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 ‎3．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”‎ A．不是互斥事件 B．是互斥但不对立事件 C．是对立事件 D．以上答案都不对 ‎4．一次数学考试中,4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答,则第22题和第23题都有同学选答的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为 A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 ‎6．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出2个球.两个球都是红球的概率是,都是黑球的概率是,则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．在一次随机试验中，三个事件的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是 ‎①与是互斥事件，也是对立事件；②是必然事件；‎ ‎③；④.‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎8．指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?‎ ‎(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称;‎ ‎(2)直线y=kx+6是定义在上的增函数;‎ ‎(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.‎ ‎9．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:‎ ‎(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.‎ ‎10．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎(1)至多有2人排队等候的概率是多少?‎ ‎(2)至少有3人排队等候的概率是多少?‎ ‎11．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下:‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障 的时间x(年)‎ ‎03‎ ‎02‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎44‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率)‎ ‎1．（2016天津文科）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（2017新课标全国Ⅱ文科节选）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：‎ 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率.‎ ‎3．（2015陕西文科）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎4．（2017新课标全国Ⅲ文科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．‎ 变式拓展 ‎1．【解析】(1)因为,‎ 所以 ‎(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为,‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎3．【解析】(1)记“年降水量在[200,250)内”为事件A,则P(A)=0.20.记“年降水量在[250,300]内”为事件B,则P(B)=0.12.记“年降水量在[200,300]内”为事件C,则C=A∪B,且事件A与事件B是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=0.32.‎ 即年降水量在[200,300]内的概率为0.32.‎ ‎(2)记“年降水量在[100,150)内”为事件A',则P(A')=0.10.‎ 记“年降水量在[150,200)内”为事件B',则P(B')=0.25.‎ 记“年降水量在[200,250)内”为事件C',则P(C')= 0.20.‎ 记“年降水量在[100,250)内”为事件D,则D=A'∪B'∪C',且事件A'、事件B'、事件C'是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A')+P(B')+P(C')=0.55.‎ 即年降水量在[100,250)内的概率为0.55.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎【解析】互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以A正确,B错误;‎ 当A=B时,A,B中恰有一个发生的概率为0,所以C错误;‎ 若事件A为不可能事件，事件A，B中至少有一个发生的概率与A，B中恰有一个发生的概率相等,故D错误.‎ ‎2．【答案】D ‎3．【答案】B ‎【解析】由互斥事件及对立事件的定义知, 事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”是互斥但不对立事件.选B．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的等可能结果有16种.‎ ‎4位同学选择作答同一题的结果有2种,即4位同学选择作答同一题的的概率是.‎ 所以第22题和第23题都有同学选答的概率为 ‎5．【答案】B ‎【解析】因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.选择B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意知,从袋中取出2个球包含事件:2个都是红球,2个都是黑球，1个红球和1个黑球.‎ 由互斥事件的性质知,取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是.选B．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由题意知,,不一定是互斥事件,‎ 所以,,,所以,只有④正确,‎ 所以说法正确的个数为1.选B．‎ ‎8．【解析】必然事件有(1);随机事件有(2)(3).‎ 对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0;另外一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.‎ ‎ (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.‎ ‎(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.‎ ‎(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件. ‎ ‎10．【解析】(1)记“有0人排队等候”为事件A,“有1人排队等候”为事件B,“有2人排队等候”为事件C,“有3人排队等候”为事件D,“有4人排队等候”为事件E,“有5人及5人以上排队等候”为事件F,则易知A,B,C,D,E,F互斥.‎ 记“至多有2人排队等候”为事件G,‎ 则G=A∪B∪C,‎ 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)方法一：记“至少有3人排队等候”为事件H,‎ 则H=D∪E∪F,‎ 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 方法二：因为G与H互为对立事件,所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.‎ ‎11．【解析】(1)设A,B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年,第2年和第3年之内,设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内,‎ 因为A,B,C是互斥的,其概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,‎ 所以P(D)= P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=,‎ 即首次出现故障发生在保修期内的概率为.‎ ‎(2)乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为,‎ 故首次出现故障发生在保修期内的概率为1-.‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【解析】甲不输的概率为选A．‎ ‎2．【解析】旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎4．【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，‎ 由表格数据知，最高气温低于25的频率为，‎ 所以，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900；‎ 若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；‎ 若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450= -100.‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，-100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. ‎