【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第6节　对数与对数函数教案 8页

第六节 对数与对数函数 [考纲传真] (教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公 式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解 对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,10， 1 2 的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数 y＝ ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数． (对应学生用书第 22 页) [基础知识填充] 1．对数的概念 如果 ax＝N(a＞0 且 a≠1)，那么 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a logaN ＝N；②logaab＝b(a＞0，且 a≠1)． (2)换底公式：logab＝logcb logca(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)． (3)对数的运算性质：如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)叫作对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当 x＝1 时，y＝0，即过定点(1,0) 当 0＜x＜1 时，y＜0； 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x＜1 时，y＞0； 当 x＞1 时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 4.反函数 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)互为反函数， 它们的图象关于直线 y＝x 对称． [知识拓展] 对数函数的图象与底数大小的比较 多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y＝1 交点 的横坐标进行判定． 如图 261，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的 底数．故 0＜c＜d＜1＜a＜b. 图 261 [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x2＝2log2x.( ) (3)当 x＞1 时，logax＞0.( ) (4)函数 y＝ln 1＋x 1－x 与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( ) (5)对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， 1 a ，－1 ，函数图象不在第二、三象限．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(log29)·(log34)＝( ) A．1 4 B．1 2 C．2 D．4 D [原式＝lg 9 lg 2·lg 4 lg 3 ＝2lg 3 lg 2 ×2lg 2 lg 3 ＝4.] 3．已知 a＝2 －1 3，b＝log2 1 3 ，c＝log 1 2 1 3 ，则( ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D [∵0＜a＝2 －1 3＜20＝1，b＝log2 1 3 ＜log21＝0，c＝log 1 2 1 3 ＞log 1 2 1 2 ＝1，∴c ＞a＞b.] 4．(教材改编)若 loga 3 4 ＜1(a＞0，且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是( ) A． 0，3 4 B．(1，＋∞) C． 0，3 4 ∪(1，＋∞) D． 3 4 ，1 C [当 0＜a＜1 时，loga 3 4 ＜logaa＝1，∴0＜a＜3 4 ； 当 a＞1 时，loga 3 4 ＜logaa＝1，∴a＞1. 即实数 a 的取值范围是 0，3 4 ∪(1，＋∞)．] 5．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过的定点是________． (2,2) [当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的值为 2，所以图象 恒过定点(2,2)．] (对应学生用书第 23 页) 对数的运算 (1)设 2a＝5b＝m，且1 a ＋1 b ＝2，则 m 等于( ) A． 10 B．10 C．20 D．100 (2)计算： lg 1 4 －lg 25 ÷100 －1 2＝________. 【导学号：97190049】 (1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， ∴1 a ＋1 b ＝ 1 log2m ＋ 1 log5m ＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m＝ 10. (2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100 1 2＝ lg 1 22·52 ×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝ －20.] [规律方法] 对数运算的一般思路 1拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使 幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性 质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 3转化：ab＝N⇔b＝logaNa＞0，且 a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方 法，在运算中应注意互化. [跟踪训练] (1)(2018·云南二检)已知函数 f(x)＝lg( 1＋4x2－2x)＋1，则 f(3) ＋f(－3)＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________. (1)D (2)5 4 [(1)f(3)＋f(－3)＝lg( 37－6)＋lg( 37＋6)＋2＝lg[( 37－6)( 37 ＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选 D． (2)原式＝ lg 2 lg 3 ＋lg 2 lg 9 · lg 3 lg 4 ＋lg 3 lg 8 ＝ lg 2 lg 3 ＋ lg 2 2lg 3 · lg 3 2lg 2 ＋ lg 3 3lg 2 ＝3lg 2 2lg 3·5lg 3 6lg 2 ＝5 4.] 对数函数的图象及应用 (1)(2017·广东韵关南雄模拟)函数 f(x)＝xa 满足 f(2)＝4，那么函数 g(x) ＝|loga(x＋1)|的图象大致为( ) (2)(2017·衡水调研)已知函数 f(x)＝ log2x，x＞0， 3x，x≤0， 且关于 x 的方程 f(x)＋x －a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________. 【导学号：97190050】 (1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得 a＝2，∴g(x)＝|log2(x ＋1)|＝ log2x＋1，x≥0， －log2x＋1，－1＜x＜0， ∴当 x≥0 时，函数 g(x)单调递增，且 g(0) ＝0；当－1＜x＜0 时，函数 g(x)单调递减．故选 C． 法二：由 f(2)＝4，即 2a＝4 得 a＝2， ∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数 g(x)是由函数 y＝|log2x|向左平移一个单位得到的， 只有 C 项符合，故选 C． (2)如图，在同一坐标系中分别作出 y＝f(x)与 y＝－x＋a 的图象，其中 a 表 示直线在 y 轴上截距，由图可知，当 a＞1 时，直线 y＝－x＋a 与 y＝log2x 只有 一个交点．] [规律方法] 利用对数函数的图象可求解的两类问题 1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性单 调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解. 2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合 法求解. [跟踪训练] 已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a＞0，a≠1)的图象 如图 262，则下列结论成立的是( ) 图 262 A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D [由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1， ∵图象与 x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数 y＝logax 的图象 向左平移不到 1 个单位后得到的，∴0＜c＜1.] 对数函数的性质及应用 ◎角度 1 比较对数值的大小 (2016·全国卷Ⅰ)若 a＞b＞0,0＜c＜1，则( ) A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb B [∵0＜c＜1，∴当 a＞b＞1 时，logac＞logbc，A 项错误； ∵0＜c＜1，∴y＝logcx 在(0，＋∞)上单调递减，又 a＞b＞0， ∴logca＜logcb，B 项正确； ∵0＜c＜1，∴函数 y＝xc 在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C 项错误； ∵0＜c＜1，∴y＝c x 在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D 项错误．] ◎角度 2 解简单的对数不等式 若 f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，当 g(lg x)＞g(1)时，则 x 的取值范围是 ________． 0， 1 10 ∪(10，＋∞) [当 g(lg x)＞g(1)时，f(|lg x|)＞f(1)，由 f(x)为增函数得 |lg x|＞1，从而 lg x＞1 或 lg x＜－1，解得 0＜x＜ 1 10 或 x＞10.] ◎角度 3 探究对数型函数的性质 已知函数 f(x)＝log4(ax 2 ＋2x＋3)． (1)若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在， 说明理由． [解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，a＝－1， 这时 f(x)＝log4(－x 2 ＋2x＋3)． 由－x 2 ＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函数 f(x)的定义域为(－1,3)． 令 g(x)＝－x 2 ＋2x＋3， 则 g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0， 则 h(x)＝ax 2 ＋2x＋3 应有最小值 1， 因此应有 a＞0， 3a－1 a ＝1， 解得 a＝1 2. 故存在实数 a＝1 2 使 f(x)的最小值为 0. [规律方法] 对数值大小比较的主要方法 1化同底数后利用函数的单调性. 2化同真数后利用图象比较. 3借用中间量0 或 1 等进行估值比较. 易错警示：利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定 义域；二是底数与 1 的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等 价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，注 意对数性质的正用、逆用、变形用. [跟踪训练] (1)已知 a＝log29－log2 3，b＝1＋log2 7，c＝1 2 ＋log2 13，则 ( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a (2)已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且 a≠1)，若 f(x)＞1 在区间[1,2]上恒成 立，则实数 a 的取值范围为________． (1)B (2) 1，8 3 [(1)a＝log29－log2 3＝log23 3，b＝1＋log2 7＝log22 7， c＝1 2 ＋log2 13＝log2 26，因为函数 y＝log2x 是增函数，且 2 7＞3 3＞ 26，所 以 b＞a＞c，故选 B． (2)当 a＞1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由于 f(x)＞1 恒成立，所 以 f(x)min＝loga(8－2a)＞1，故 1＜a＜8 3. 当 0＜a＜1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是增函数，由于 f(x)＞1 恒成立， 所以 f(x)min＝loga(8－a)＞1，即 a＞4，且 8－2a＞0，a＜4，显然这样的 a 不存在． 故 a 的取值范围为 1，8 3 .]