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- 2021-06-11 发布
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陕西省西安中学2018-2019学年高二上学期期末考试文科数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1.若集合,,则是 ( )
A.或 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解分式不等式求得集合,然后求两个集合的交集.
【详解】
由得,解得或,故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查两个集合的交集的概念及运算,考查分式不等式的解法,属于基础题.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由抛物线的方程,则,则,所以,
所以抛物线的焦点坐标是,故选B.
3.命题“, ”的否定是( )
A., B.,
C., D.不存在,
【答案】A
【解析】 因为命题“ , ”是特称命题,
所以特称命题的否定是全称命题,得“ , ”的否定是:“ , ”,故选A.
4.4.4.设,是实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】本题采用特殊值法:当时,,但,故是不充分条件;当时,,但,故是不必要条件.所以“”是“”的即不充分也不必要条件.故选D.
考点:1.充分条件、必要条件;2.不等式的性质.
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5.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:根据题意,由椭圆的标准方程分析可得a,b的值,进而由椭圆离心率公式,解可得m的值,即可得答案.
详解:根据题意,椭圆的焦点在x轴上,则,
则,
离心率为,
则有,解得.
故选:B.
点睛:本题考查椭圆的几何性质,注意由椭圆的焦点位置,分析椭圆的方程的形式.
6.已知,,且,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【解析】
【分析】
用乘以题目所求的表达式,然后利用基本不等式求得表达式的最小值.
【详解】
依题意,故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值,考查的代换的方法,属于基础题.
7.已知函数 的导数为 ,若有 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,令,所以。故选A。
【点睛】求函数的导函数,令,得,将看成未知数,解关于的方程可求的值。
8.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
方程即,表示抛物线,
方程表示椭圆或双曲线,
当和同号时,抛物线开口向左,
方程表示焦点在轴的椭圆,无符合条件的选项;
当和异号时,抛物线开口向右,
方程表示双曲线,
本题选择A选项.
9.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,若,则的值为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据过抛物线焦点的弦长公式,利用题目所给已知条件,求得弦长.
【详解】
根据过抛物线焦点的弦长公式有.,故选B.
【点睛】
本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式,即.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.
10.已知椭圆: 的右顶点、上顶点分别为、,坐标原点到直线的距离为,且,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出直线的方程,利用原点到直线的距离,以及列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆的方程.
【详解】
椭圆右顶点坐标为,上顶点坐标为,故直线的方程为,即,依题意原点到直线的距离为,且,由此解得,故椭圆的方程为,故选D.
【点睛】
本小题主要考查过两点的直线方程,考查点到直线的距离公式,考查椭圆标准方程的求法,考查了方程的思想.属于中档题.
11.若实数,满足,则的最小值是( )
A.0 B. C.-6 D.-3
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域,向上平移目标函数到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.故选C.
【点睛】
本小题主要考查线性规划的知识,考查线性目标函数的最值的求法,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.画可行域时,要注意判断不等式所表示的范围是在直线的哪个方位,不一定是三条直线围成的三角形.还要注意目标函数化成斜截式后,截距和目标函数的对应关系,截距最大时,目标函数不一定取得最大值,可能取得最小值.
12.已知,是椭圆长轴上的两个端点,,是椭圆上关于轴对称的两点,直线,的斜率分别为,若椭圆的离心率为,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
不妨设是椭圆的上下顶点,求出直线的斜率,相加得到,结合选项可得出的最小值.
【详解】
由于椭圆的离心率为,即,解得.不妨设是椭圆的上下顶点,即,而,故,.四个选项中的值最小,故本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查椭圆的离心率,考查椭圆的几何性质,考查选择题的解法,属于基础题.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13.双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
双曲线的渐近线方程为,即.
14.已知是椭圆上一动点,为坐标原点,则线段中点的轨迹方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设出点的坐标,由此得到点的坐标,将点坐标代入椭圆方程,化简后可得点的轨迹方程.
【详解】
设,由于是中点,故,代入椭圆方程得,化简得.即点的轨迹方程为.
【点睛】
本小题主要考查代入法求动点的轨迹方程,考查中点坐标,属于基础题.
15.设是双曲线:的右焦点,是左支上的点,已知,则周长的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设左焦点为,利用双曲线的定义,得到当三点共线时,三角形的周长取得最小值,并求得最小的周长.
【详解】
设左焦点为,根据双曲线的定义可知,所以三角形的周长为,当三点共线时,取得最小值,三角形的周长取得最小值. ,故三角形周长的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义,考查三角形周长最小值的求法,属于中档题.
16.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点作垂直与轴的直线交双曲线于,两点,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的通径求得点的坐标,将三角形为锐角三角形,转化为,即,将表达式转化为含有离心率的不等式,解不等式求得离心率的取值范围.
【详解】
根据双曲线的通径可知,由于三角形为锐角三角形,结合双曲线的对称性可知,故,即,即,解得,故离心率的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法,考查双曲线的通径,考查双曲线的对称性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
本小题的主要突破口在将三角形为锐角三角形,转化为,利用列不等式,再将不等式转化为只含离心率的表达式,解不等式求得双曲线离心率的取值范围.
评卷人
得分
三、解答题
17.已知命题:方程有两个不相等的实数根;命题:不等式的解集为.若或为真,为假,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据“或为真,为假”判断出“为真,为假”,利用判别式列不等式分别求得为假、为真时的取值范围,再取两者的交集求得实数的取值范围.
【详解】
因为或为真,为假,所以为真,为假
为假,,即:,∴或 ,
为真,,即:,∴或,
所以取交集为或 .
【点睛】
本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题的真假性,考查一元二次方程根与判别式的关系,考查一元二次不等式解集为与判别式的关系,属于中档题.
18.已知双曲线的中心在原点,焦点为,且离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据焦点坐标求得,根据离心率及求得的值,进而求得双曲线的标准方程.(2)设出两点的坐标,利用点差法求得弦所在直线的斜率,再由点斜式求得弦所在的直线方程.
【详解】
(1) 由题可得,,∴,,
所以双曲线方程 .
(2)设弦的两端点分别为,,
则由点差法有: , 上下式相减有:
又因为为中点,所以,,
∴,所以由直线的点斜式可得,
即直线的方程为.
【点睛】
本小题主要考查双曲线标准方程的求法,考查利用点差法求解有关弦的中点有关的问题,属于中档题.
19.某投资公司计划投资,两种金融产品,根据市场调查与预测,产品的利润与投资金额的函数关系为,产品的利润与投资金额的函数关系为.(注:利润与投资金额单位:万元)
(1)该公司已有100万元资金,并全部投入,两种产品中,其中万元资金投入产品,试把,两种产品利润总和表示为的函数,并写出定义域;
(2)试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
【答案】(1);(2)20,28.
【解析】
【分析】
(1)设投入产品万元,则投入产品万元,根据题目所给两个产品利润的函数关系式,求得两种产品利润总和的表达式.(2)利用基本不等式求得利润的最大值,并利用基本不等式等号成立的条件求得资金的分配方法.
【详解】
(1)其中万元资金投入产品,则剩余的(万元)资金投入产品,
利润总和为: ,
(2)因为,
所以由基本不等式得:,
当且仅当时,即:.
【点睛】
本小题主要考查利用函数求解实际应用问题,考查利用基本不等式求最大值,属于中档题.
20.已知曲线.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若曲线在点处的切线与曲线相切,求的值.
【答案】(1);(2)8.
【解析】
【分析】
(1)求得函数的导函数,利用切点坐标和斜率求得切线方程.(2)先求得曲线过点的切线方程,利用切线的斜率等于导数值求得切点的坐标,代入切线方程可求得的值.
【详解】
由题可得
(1) ,
由直线的点斜式方程有,切线的方程为:
,即:.
(2)函数在的导数为,所以切线方程为,
曲线的导数,因与该曲线相切,
可令,∴,
代入曲线方程可求得切点为,带入切线方程可求得.
【点睛】
本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法,考查经过某点的曲线的切线方程有关问题的求解策略,属于中档题.
21.(本小题满分12分)
已知抛物线C的方程C:y2="2" p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设:,先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得:
解得,再根据直线与抛物线C有公共点确定
试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为.
(2)假设存在符合题意的直线,
其方程为.
由得.
因为直线与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直线OA到的距离
可得,解得.
因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线存在,其方程为.
考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
22.已知椭圆:的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过椭圆左焦点,为椭圆短轴的上顶点,当直线时,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的几何性质以及等边三角形的性质,得到的一个关系式,结合求得的关系式,将点的坐标代入椭圆方程,由此求得的值,进而求得椭圆方程.(2)根据(1)求得点的坐标,进而求得和的斜率,写出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用弦长公式求得,由两点间距离公式求得,进而求得三角形的面积.
【详解】
(1)由题意知,即,,
即,
∵在椭圆上,∴,,,
所以椭圆的方程为.
(2),则,
,∴,
∴直线的方程为:,
将其代入:得:
设,
∴,,
,
又,
∴.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查弦长公式,考查三角形面积的计算,属于中档题.要求椭圆的标准方程,主要方法是根据已知条件,列出方程组,解方程组求得的值.直线和圆锥曲线相交所得弦长公式为.其中为直线的斜率,和可由韦达定理求得.