数学文卷·2017届广东省清远市田家炳实验中学高三第一次模拟考试（2017 11页

‎ 清远市田家炳中学2017届高三第一次高考模拟统一考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（　　）‎ A． B． C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（　　）‎ A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i ‎3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0‎ ‎4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C． 5 D．6‎ ‎5．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（　　）‎ A．A班的数学成绩平均水平好于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次考试B班的数学平均分要高于A班 D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98‎ ‎6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎7．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（　　）‎ A．f（x）的图象关于（，1）中心对称 B．f（x）在（，）上单调递减 C．f（x）的图象关于x=对称 D．f（x）的最大值为3‎ ‎8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2， =3， =λ（λ∈R），则λ=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．5‎ ‎9．对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 ‎10．如图所示的程序框图，输出的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．48π D．6π ‎12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x ‎）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．‎ 正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分 ‎13．设x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点P（﹣1，4），则曲线y=f（x）在点P处的切线方程为　　．‎ ‎15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是　　．‎ ‎16．若数列{an}的首项a1=2，且；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=　　．‎ 二、 解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．如图所示，在四面体ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．‎ ‎（1）求△ACD的面积；‎ ‎（2）若BC=2，求AB的长．‎ ‎18．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．‎ 网购金额（元）‎ 频数 频率 ‎（0，500]‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎（500，1000]‎ x p ‎（1000，1500]‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎（1500，2000]‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎（2000，2500]‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎（2500，3000]‎ y q 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）先求出x，y，p，q的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整；‎ ‎（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？‎ x 网龄3年以上 网龄不足3年 合计 购物金额在2000元以上 ‎35‎ 购物金额在2000元以下 ‎20‎ 总计 ‎100‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=‎ ‎60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（1）证明：AE⊥平面PAD；‎ ‎（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．‎ ‎（1）求线段OQ的长；‎ ‎（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．‎ ‎21．已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．‎ ‎（1）若a=0，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然对数的底数）；求当实数a等于多少时，可以使函数g（x）取得最小值为3．‎ ‎　‎ 选做题（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）‎ ‎22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；‎ ‎（2）设定点P（0，），求+．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）+1＜f（2x）的解集M；‎ ‎（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ 答案：‎ 一、 DCAAC DBDAC CB 二、13、-5 14、8x+y+4=0 15、 16、5050‎ 三、‎ ‎17、解：（1）因为AD=1，CD=3，AC=2，‎ 所以由余弦定理得，cosD===，‎ 因为D∈（0，π）所以sinD==‎ 又AD=1，CD=3，‎ 所以△ACD的面积S==…‎ ‎（2）∵AC=BC=2，‎ ‎∴∠BAC=B，则∠ACB=π﹣2B，‎ 由正弦定理得，，‎ 则，即，‎ 又cosB=，所以AB=AC•cosB=2×=4．…‎ ‎　‎ ‎18．解：（1）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，‎ 所以网购金额在相应的2×2列联表为：‎ 网龄3年以上 网龄不足3年 合计 购物金额在2000元以上 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 购物金额在2000元以下 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 由公式K2=≈5.56，…‎ 因为5.56＞5.024，‎ 所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关． …‎ ‎　‎ ‎19．（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，‎ ‎∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．‎ 又BC∥AD，因此AE⊥AD．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AE．‎ 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，‎ ‎∴AE⊥平面PAD；‎ ‎（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．‎ 由（1）知AE⊥平面PAD，‎ 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．‎ 在Rt△EAH中，AE=，‎ ‎∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，‎ 此时，因此AH=．‎ ‎∴线段PD上存在点H，‎ 当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．‎ ‎　‎ ‎20．解：（Ⅰ）由抛物线y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，‎ 得2+=，∴n=2，‎ 抛物线C的方程为y2=2x，P（2，2）． …‎ C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则y′=，‎ 故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），‎ 令y=0得x=﹣2，所以点Q的坐标为（﹣2，0）．‎ 故线段OQ的长为2． …‎ ‎（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：‎ 由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0．‎ 由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0‎ 则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …‎ 直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，‎ 直线PE的斜率为．‎ 因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，‎ 所以+=2× …‎ 整理得：=，‎ 因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2，‎ 所以2m﹣b+2=2m，即b=2．‎ 故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）．…‎ ‎　‎ ‎21解：（1）a=0时，f（x）=x2+lnx，x＞0‎ ‎∴f′（x）=2x+，‎ ‎∴f′（1）=3，f（1）=1，‎ ‎∴数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣2=0，‎ ‎（2）函数f（x）在上是增函数，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣a+≥0，在上恒成立，‎ 即a≤2x+，在上恒成立，‎ 令h（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时，取等号，‎ ‎∴a≤2，‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，2]‎ ‎（3）g（x）=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]．‎ ‎∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），‎ ‎①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；‎ ‎②当a＞0且＜e时，即a＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，‎ ‎∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；‎ ‎③当a＞0，且≥e时，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；‎ 综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．‎ ‎　‎ ‎22、解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为=1，‎ ‎∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆 ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ ‎∴t1+t2=﹣，t1t2=，‎ ‎∴+=|=．‎ ‎　‎ ‎23（1）解：不等式f（x）+1＜f（2x）即|x+1|＜|2x+1|﹣1，‎ ‎∴①，或 ②，或③．‎ 解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．‎ 故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．‎ ‎（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，‎ 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．‎ ‎∴f（ab）﹣=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|‎ ‎=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|‎ ‎=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，‎ 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．‎