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  • 2021-06-11 发布

黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中克山一中等五校联考2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题

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‎“五校联谊”2019-2020学年度上学期高二年级期中考试 理科数学试卷 注意事项:‎ ‎1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B错笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷,草稿纸上作答无效.‎ ‎3.本试卷命题范围:必修全部;选修2-1第一章,第二章第一~三节.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目类求的.‎ ‎1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=( ).‎ A. Æ B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3} D. {x|2<x<3}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D ‎2.命题“任意,”的否定是( )‎ A. 存在, B. 存在,‎ C. 任意, D. 任意,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“任意x>0,1”的否定是:‎ 存在,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.‎ ‎3.已知椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则( )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,求出长半轴和短半轴的长度,利用长轴长是短轴长的两倍,解方程求出m的值.‎ ‎【详解】椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,用待定系数法求参数m的值.‎ ‎4.已知命题椭圆离心离;椭圆离心率越小其形状越接近于圆.则下列判断中,错误的是( )‎ A. p或q为真,非q为假 B. p或q为真,非p为假 C. p且q为假,非p为真 D. p且q为假,p或q为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题p,q的真假,结合复合命题真假关系进行求解即可.‎ ‎【详解】椭圆离心离,故命题为假命题;非p为真 椭圆离心率越小其形状越接近于圆,是真命题,故非q为假 则p或q为真,p且q为假,故A,C,D正确,B错误 故选:B ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,椭圆的基本性质,较容易 ‎5.直线和椭圆有交点,则k取值范围是( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线代入椭圆,消去,当 时,直线和椭圆有交点,解不等式求k的取值范围.‎ ‎【详解】解:直线代入椭圆,消去,‎ 可得, , ∵直线和椭圆有交点, , 或. 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,直线和椭圆的交点个数的判断方法,求出,是解题的关键.‎ ‎6.已知双曲线,点,为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若,则的面积是( )‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的双曲线的方程,写出双曲线的实轴长和焦距,设 ‎,根据双曲线的定义和勾股定理求得,由三角形的面积公式,求得的面积.‎ ‎【详解】解:∵双曲线标准方程:, , 设, 由双曲线的定义可知:   ①, ∵, 由勾股定理可知:,② 把①平方,然后代入②,求得, ∴的面积为, 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义及性质,考查根据勾股定理,双曲线的定义及三角形面积公式的应用,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎7.过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,已知双曲线的焦点在x轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A,B两点,则双曲线的离心率e为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知中椭圆的标准方程,我们可以求出两点的坐标,结合双曲线的焦点在x轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点,将A,B坐标代入即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】解:由已知椭圆的标准方程为,‎ 令,得,‎ ‎, 设双曲线为, 渐近线方程为,因为A、B在渐近线上, 所以,‎ ‎ . 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是椭圆及双曲线的几何特征,其中求出的坐标,并根据双曲线的性质,求出双曲线实半轴长和虚半轴长的比例关系是解答本题的关键.‎ ‎8. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=选A ‎9.如果不等式|x-a|<1成立的充分不必要条件是,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式|x-a|<1得其解集,进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组,解这个不等式组可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,不等式|x-a|<1的解集是a-1<x<a+1,设此命题为p, 命题,为q;则p的充分不必要条件是q, 即q表示的集合是p表示集合的真子集;则有,(等号不同时成立);‎ 解得. 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用,注意与集合间关系的对应即可,对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立,需要验证分析.‎ ‎10.设椭圆过点,离心率为,则椭圆C的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点,转化求解椭圆方程即可.‎ 详解】由题意得:,又因为a2=b2+c2,解得a=5, ‎ 椭圆C的方程为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎11.设,且,则的最小值是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用基本不等式,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】因为,∴,‎ 又由,所以 ‎,‎ 当且仅当,即,时等号成立,‎ 所以的最小值是,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值,其中解答中根据题意,构造使用基本不等式的使用条件,准确利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎12.设,是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若,且(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,可得是直角三角形,利用勾股定理和双曲线的定义,即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】解:由题意得,是直角三角形,设 由勾股定理得, , , , . 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查勾股定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.命题“,使得”的否定是 ‎【答案】,都有 ‎【解析】‎ 试题分析:由命题的否定,可得“,都有”‎ 考点:命题的否定 ‎14.已知F为双曲线的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点在线段PQ上,则的周长为________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出双曲线图象,然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决.求出周长即可.‎ ‎【详解】解:根据题意,双曲线的左焦点,所以点是双曲线的右焦点,虚轴长为:6; 双曲线图象如图:‎ ‎ ①  ② 而, ①+② 得:, ∴周长为. 故答案为:32.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义,通过对定义的考查,求出周长,属于基础题.‎ ‎15.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),数列{an}的通项公式为________.‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】‎ ‎∵an+1-an=n+1,‎ ‎∴a2-a1=2,a3-a2=3,……,an-an-1=n(n≥2),‎ 由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1=1,‎ ‎∴(n≥2).‎ ‎∵当n=1时,也满足,‎ ‎(n∈N*).‎ ‎16.已知椭圆的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若,,,则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形,利用余弦定理求出,可得则四边形为矩形,结合椭圆的对称性求得的值,则椭圆的离心率可求.‎ ‎【详解】解:由题意画出图形, 在中,由,,, 结合余弦定理可得,‎ ‎∴有 ‎, 则为,连接,则四边形为矩形, ,则. ∴椭圆C的离心率. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,关键是注意椭圆对称性的应用,是中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.已知二次函数在上是增函数;指数函数在定义域内是增函数;命题“”为假,且“”为假,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题p,q为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可.‎ ‎【详解】p:对称轴 q:由6a2﹣a>1即 由命题“p∧q”为假,且“¬p”为假⇒p真q假 即 ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用,结合条件判断p,q的真假是解决本题的关键.‎ ‎18.如图,分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线与椭圆C的另一个交点,.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)已知的面积为,求a,b的值.‎ ‎【答案】(1);(2),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用,求椭圆C的离心率; (2)设,则 ‎,利用余弦定理以及已知的面积为,直接求a,b 的值.‎ ‎【详解】解:(1), ‎ ‎; (2)设,则,‎ ‎,故三角形是等边三角形,‎ ‎ 在三角形中,‎ ‎, ,‎ ‎, 面积, ‎ ‎, , .‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,余弦定理的应用,考查计算能力.‎ ‎19.如图所示,中,,,点D在AC上,且.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求的周长.‎ ‎【答案】(1) ;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理得,结合两角和的正弦求得,则可求 ‎(2)设利用余弦定理求得.则周长可求 ‎【详解】(1)=2,则为等腰三角形, ‎ 在中,利用正弦定理得 ‎ 故 ‎ 故 ‎ ‎(2),设 ‎ ‎ 故的周长为 ‎【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理解三角形,考查两角和的正弦公式,考查计算能力,是中档题 ‎20.(1)如图(1)所示,椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,A、B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率;‎ ‎(2)如图(2)所示,双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,求此双曲线的离心率.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据轴得到点坐标,然后表示出和的坐标,由转化为坐标关系,得到关系,求出离心率.‎ ‎(2)根据题意得到的斜率和双曲线渐近线的斜率,再由它们互相垂直,得到两者斜率相乘等于,得到的关系,求出离心率.‎ ‎【详解】(1)依题意、、、‎ ‎,,由∥得:‎ ‎ ‎ ‎ 而 即 ‎ ‎. ‎ ‎(2)依题意,‎ ‎;渐近线斜率:,‎ 直线与该双曲线的一条渐近线垂直 ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ 解得 ‎ 由因,所求 ‎【点睛】本题考查利用几何关系构造关于的方程,求椭圆和双曲线的离心率.属于中档题.‎ ‎21.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP//平面FMC,并给出证明.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ 证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB,可知B、N、D共线,且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD,‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎(2)点P在A点处 证明:取DC中点S,连接AS、GS、GA G是DF的中点,GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC ‎22.已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于A,B两点,且点A的坐标为,点Р是椭圆上异于A,B的任意一点,点Q满足,,且A,B,Q三点不共线.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求点Q的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1);‎ ‎(2)Q的轨迹方程为,除去 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出椭圆的焦点,利用椭圆的定义,可得椭圆的方程; (2)设,由题意,,‎ 利用点Q满足,结合点P是椭圆上异于点A,B 的任意一点,求点Q的轨迹方程.‎ ‎【详解】解:(1)双曲线的顶点为, ∴椭圆的焦点为, ∵椭圆过, , , , ∴椭圆的方程为; (2)设 由题意,, ,‎ ‎, 由,可得, ,可得, 两式相乘,可得, 点P是椭圆上异于点A,B的任意一点,‎ ‎, , 时,; 时,则或,‎ 或,满足, P与A重合时,, ‎ 代入可得或; 同理P与B重合时,或; ∴点Q的轨迹方程为,除去.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查轨迹方程的求法,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.‎ ‎ ‎

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