黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中克山一中等五校联考2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 19页

‎“五校联谊”2019-2020学年度上学期高二年级期中考试 理科数学试卷 注意事项：‎ ‎1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B错笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．‎ ‎3．本试卷命题范围：必修全部；选修2-1第一章，第二章第一~三节．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目类求的．‎ ‎1.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（ ）．‎ A. Æ B. ｛x|0＜x＜3｝ C. ｛x|1＜x＜3｝ D. ｛x|2＜x＜3｝‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D ‎2.命题“任意，”的否定是( )‎ A. 存在， B. 存在，‎ C. 任意， D. 任意，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x＞0，1”的否定是：‎ 存在，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎3.已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则( )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．‎ ‎【详解】椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．‎ ‎4.已知命题椭圆离心离；椭圆离心率越小其形状越接近于圆.则下列判断中，错误的是( )‎ A. p或q为真，非q为假 B. p或q为真，非p为假 C. p且q为假，非p为真 D. p且q为假，p或q为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】椭圆离心离，故命题为假命题；非p为真 椭圆离心率越小其形状越接近于圆，是真命题，故非q为假 则p或q为真，p且q为假,故A,C,D正确，B错误 故选：B ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的基本性质，较容易 ‎5.直线和椭圆有交点，则k取值范围是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线代入椭圆，消去，当 时，直线和椭圆有交点，解不等式求k的取值范围．‎ ‎【详解】解：直线代入椭圆，消去，‎ 可得， ， ∵直线和椭圆有交点， ， 或． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆的交点个数的判断方法，求出，是解题的关键．‎ ‎6.已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的面积是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的双曲线的方程，写出双曲线的实轴长和焦距，设 ‎，根据双曲线的定义和勾股定理求得，由三角形的面积公式，求得的面积．‎ ‎【详解】解：∵双曲线标准方程：， ， 设， 由双曲线的定义可知：   ①， ∵， 由勾股定理可知：，② 把①平方，然后代入②，求得， ∴的面积为， 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义及性质，考查根据勾股定理，双曲线的定义及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎7.过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A，B两点，则双曲线的离心率e为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知中椭圆的标准方程，我们可以求出两点的坐标，结合双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，将A，B坐标代入即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：由已知椭圆的标准方程为，‎ 令，得，‎ ‎， 设双曲线为， 渐近线方程为，因为A、B在渐近线上， 所以,‎ ‎ . 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是椭圆及双曲线的几何特征，其中求出的坐标，并根据双曲线的性质，求出双曲线实半轴长和虚半轴长的比例关系是解答本题的关键．‎ ‎8. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A ‎9.如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p， 命题，为q；则p的充分不必要条件是q， 即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；‎ 解得． 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．‎ ‎10.设椭圆过点，离心率为，则椭圆C的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．‎ 详解】由题意得：，又因为a2＝b2+c2，解得a＝5， ‎ 椭圆C的方程为．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎11.设，且，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用基本不等式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】因为，∴，‎ 又由，所以 ‎，‎ 当且仅当，即，时等号成立，‎ 所以的最小值是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中根据题意，构造使用基本不等式的使用条件，准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12.设，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若，且（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得是直角三角形，利用勾股定理和双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：由题意得，是直角三角形，设 由勾股定理得， ， ， ， ． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.命题“，使得”的否定是 ‎【答案】，都有 ‎【解析】‎ 试题分析：由命题的否定，可得“，都有”‎ 考点：命题的否定 ‎14.已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为________．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决．求出周长即可．‎ ‎【详解】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6； 双曲线图象如图：‎ ‎ ①  ② 而， ①＋② 得：， ∴周长为． 故答案为：32．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．‎ ‎15.设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，数列{an}的通项公式为________．‎ ‎【答案】 ．‎ ‎【解析】‎ ‎∵an＋1－an＝n＋1，‎ ‎∴a2-a1=2，a3-a2=3，……，an-an-1=n（n≥2），‎ 由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1＝1，‎ ‎∴（n≥2）.‎ ‎∵当n=1时，也满足，‎ ‎（n∈N*）.‎ ‎16.已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若，，，则C的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，利用余弦定理求出，可得则四边形为矩形，结合椭圆的对称性求得的值，则椭圆的离心率可求．‎ ‎【详解】解：由题意画出图形， 在中，由，，， 结合余弦定理可得，‎ ‎∴有 ‎， 则为，连接，则四边形为矩形， ，则． ∴椭圆C的离心率． 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，关键是注意椭圆对称性的应用，是中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17.已知二次函数在上是增函数；指数函数在定义域内是增函数；命题“”为假，且“”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】p：对称轴 q：由6a2﹣a＞1即 由命题“p∧q”为假，且“￢p”为假⇒p真q假 即 ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎18.如图，分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）已知的面积为，求a，b的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用，求椭圆C的离心率； （2）设，则 ‎，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求a，b 的值．‎ ‎【详解】解：（1）， ‎ ‎； （2）设，则，‎ ‎，故三角形是等边三角形，‎ ‎ 在三角形中，‎ ‎， ，‎ ‎， 面积， ‎ ‎， ， ．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎19.如图所示，中，，，点D在AC上，且．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得，结合两角和的正弦求得，则可求 ‎（2）设利用余弦定理求得.则周长可求 ‎【详解】（1）=2，则为等腰三角形， ‎ 在中，利用正弦定理得 ‎ 故 ‎ 故 ‎ ‎（2），设 ‎ ‎ 故的周长为 ‎【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，是中档题 ‎20.（1）如图（1）所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率；‎ ‎（2）如图（2）所示，双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲线的离心率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据轴得到点坐标，然后表示出和的坐标，由转化为坐标关系，得到关系，求出离心率.‎ ‎（2）根据题意得到的斜率和双曲线渐近线的斜率，再由它们互相垂直，得到两者斜率相乘等于，得到的关系，求出离心率.‎ ‎【详解】（1）依题意、、、‎ ‎，，由∥得：‎ ‎ ‎ ‎ 而 即 ‎ ‎. ‎ ‎（2）依题意，‎ ‎；渐近线斜率：，‎ 直线与该双曲线的一条渐近线垂直 ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ 解得 ‎ 由因，所求 ‎【点睛】本题考查利用几何关系构造关于的方程，求椭圆和双曲线的离心率.属于中档题.‎ ‎21.一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎（2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC ‎22.已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于A，B两点，且点A的坐标为，点Р是椭圆上异于A，B的任意一点，点Q满足，，且A，B，Q三点不共线．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求点Q的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）Q的轨迹方程为，除去 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆的方程; （2）设，由题意，，‎ 利用点Q满足，结合点P是椭圆上异于点A，B 的任意一点，求点Q的轨迹方程.‎ ‎【详解】解：（1）双曲线的顶点为， ∴椭圆的焦点为， ∵椭圆过， ， ， ， ∴椭圆的方程为； （2）设 由题意，， ，‎ ‎， 由，可得， ，可得， 两式相乘，可得， 点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，‎ ‎， ， 时，； 时，则或，‎ 或，满足， P与A重合时，， ‎ 代入可得或； 同理P与B重合时，或； ∴点Q的轨迹方程为，除去.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．‎ ‎ ‎