2019年高考数学高分突破复习课件专题七 第1讲 32页

第 1 讲　坐标系与参数方程 高考定位　 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 . 以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识 . (1) 求 C 和 l 的直角坐标方程； (2) 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1 ， 2) ，求 l 的斜率 . 真 题 感 悟 当 cos α ≠0 时， l 的直角坐标方程为 y ＝ tan α · x ＋ 2 － tan α ， 当 cos α ＝ 0 时， l 的直角坐标方程为 x ＝ 1. (2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程 (1 ＋ 3cos 2 α ) t 2 ＋ 4(2cos α ＋ sin α ) t － 8 ＝ 0. ① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1 ， 2) 在 C 内， 所以 ① 有两个解，设为 t 1 ， t 2 ，则 t 1 ＋ t 2 ＝ 0. 故 2cos α ＋ sin α ＝ 0 ，于是直线 l 的斜率 k ＝ tan α ＝－ 2. 2. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y ＝ k | x | ＋ 2. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 ＋ 2 ρ cos θ － 3 ＝ 0. ( 1) 求 C 2 的直角坐标方程； ( 2) 若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程 . 解　 (1) 由 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ， 得 C 2 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 3 ＝ 0 ， 即 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4. (2) 由 (1) 知 C 2 是圆心为 A ( － 1 ， 0) ，半径为 2 的圆 . 由题设知， C 1 是过点 B (0 ， 2) 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为 l 1 ， y 轴左边的射线为 l 2 . 由于 B 在圆 C 2 的外面，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点 . 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时， A 到 l 1 所在直线的距离为 2 ， 经检验，当 k ＝ 0 时， l 1 与 C 2 没有公共点； l 2 与 C 2 有两个公共点 . 当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时， A 到 l 2 所在直线的距离为 2 ， 经检验，当 k ＝ 0 时， l 1 与 C 2 没有公共点； 1. 直角坐标与极坐标的互化 考 点 整 合 2. 直线的极坐标方程 3. 圆的极坐标方程 解 　 (1) 设 P 的极坐标为 ( ρ ， θ )( ρ >0) ， M 的极坐标为 ( ρ 1 ， θ )( ρ 1 >0). 由 | OM |·| OP | ＝ 16 得 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 4cos θ ( ρ >0). 因此 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠0). (2) 设点 B 的极坐标为 ( ρ B ， α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | ＝ 2 ， ρ B ＝ 4cos α ，于是 △ OAB 的面积 解 　因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 4cos θ ， 所以曲线 C 是圆心为 (2 ， 0) ，直径为 4 的圆 . 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 . 解 　 (1) a ＝－ 1 时，直线 l 的普通方程为 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0. (2) 直线 l 的普通方程是 x ＋ 4 y － 4 － a ＝ 0. 设曲线 C 上点 P (3cos θ ， sin θ ). ∴ |5sin( θ ＋ φ ) － 4 － a | 的最大值为 17. 若 a ≥ 0 ，则－ 5 － 4 － a ＝－ 17 ， ∴ a ＝ 8. 若 a <0 ，则 5 － 4 － a ＝ 17 ， ∴ a ＝－ 16. 综上，实数 a 的值为 a ＝－ 16 或 a ＝ 8. 探究提高　 1. 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件 . 2 . 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解 . 所以点 C 的直角坐标为 (0 ， 2). ∴ 曲线 Ω 的普通方程为 x 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 4. 代入 x 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 4 ，整理得： t 2 ＋ 8 t sin α ＋ 12 ＝ 0. 设点 P ， Q 对应的参数值分别为 t 1 ， t 2 ，则 t 1 t 2 ＝ 12 ， 所以直线 l 的普通方程为 x sin φ － y cos φ ＋ 2cos φ ＝ 0. 由 ρ cos 2 θ ＝ 8sin θ ，得 ( ρ cos θ ) 2 ＝ 8 ρ sin θ ， 把 x ＝ ρ cos φ ， y ＝ ρ sin φ 代入上式，得 x 2 ＝ 8 y ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＝ 8 y . (2) 将直线 l 的参数方程代入 x 2 ＝ 8 y ， 得 t 2 cos 2 φ － 8 t sin φ － 16 ＝ 0 ， 设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1 ， t 2 ， 当 φ ＝ 0 时， | AB | 的最小值为 8. 探究提高 　 1. 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 . 当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程 . 2 . 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 . 从而曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 － 4 ρ cos θ ＝ 0 ，即 ρ ＝ 4cos θ ， 1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 . 2. 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答 .