数学文（A）卷·2018届河北省唐山市五校高三4月联考（2018 13页

‎2018年唐山市五校高三联考 文科数学试卷 A卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知,,则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则的虚部是 ‎ A．-1 B． 1 C．-2 D．2 ‎ ‎3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为 A． B． C． D． ‎ ‎4．设，则的大小顺序是 A． B． C． D．‎ ‎5．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量的数量积 A． B． C．8 D．7‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为 A． B． C． D． ‎ ‎7. 甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是 A． 1 B． C． D． ‎ ‎8. 已知数列的前项和，且，则 A． 27 B． C． D． 31‎ ‎9. 若，则 A． B．1 C． D．1或 ‎10．函数 ()的部分图象如图所示,则＝‎ A． B C． D．‎ ‎11．如图，是抛物线()的焦点，直线过点且与抛物线及其准线交于,, 三点，若,，则抛物线的标准方程是 A． B． C． D．‎ ‎12．‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 设满足约束条件若，则z的最大值为 .‎ ‎14. 的两边长为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆半径为 .‎ ‎15. 已知点P(3,0)，在⊙Ｏ：上随机取一点,则的概率为 .‎ ‎16. 已知正四面体ABCD的棱长为，四个顶点都在球心为O的球面上，过棱AB的中点M作球O的截面，则截面面积的最小值为___________.‎ 三、解答题：共70分． ‎ ‎17．（12分）‎ 数列的前n项和为若，点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎ （Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和.‎ ‎18．（12分）‎ 某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.‎ ‎(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；‎ ‎(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为 应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. ‎ 参考数据：，，，，‎ 参考公式：相关系数，，‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎ (计算结果保留两位小数)‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，‎ 求点B到平面的距离.‎ ‎20．（12分）‎ 已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．‎ ‎(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 函数，‎ ‎（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.‎ 选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知为正数，函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：‎ ‎2018年唐山市五校高三联考 文科数学试卷答案 一.选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎(A)‎ C B B D A A D C B C C A 二、填空题：(每小题5分，共20分．)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题： ‎ ‎17．（12分）数列的前n项和为若，点在直线上.‎ ‎([来]I）求证：数列是等差数列；‎ ‎（II）若数列满足，求数列的前n项和 解：（I）上，‎ 同除以 ……2分 数列是以3为首项，1为公差的等差数列. ……4分 ‎ （II）由（I）可知， ‎ 当n=1时，a1=3，当 ‎ 经检验，当n=1时也成立， ……6分 ‎ ……8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……10分 即 ……12分 ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，求点B到平面的距离.‎ 解：（Ⅰ）连接，交于点，‎ ‎∵底面是正方形，∴，且为的中点，‎ 又∵，，∴平面---------2分 由于平面，故，又∵，故；…………4分 ‎（Ⅱ）设的中点为，连接，，//，‎ ‎∴为平行四边形，，‎ ‎∵平面，∴平面，‎ ‎∴，的中点为，‎ ‎∴， ……6分 由平面，又可得，‎ 又∵，，∴平面，‎ ‎∴，又∵，∴平面，……8分 ‎ ，AQ=1,‎ ‎ ∴ 点A到平面PCD的距离为1. ……10分 ‎ ∵为平行四边形，∴AB//QE ‎∵‎ ‎∴AB//面PCD,‎ ‎ ∴ 点B到平面PCD的距离为1. ……12分 ‎19．（12分）‎ 某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.‎ ‎(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；‎ ‎(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.‎ 参考数据：，，，，‎ 参考公式：相关系数，，‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎.(计算结果保留两位小数)‎ ‎（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：，，‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ……4分 ‎（Ⅱ），3， ‎ 所以关于的回归方程为. ……8分 ‎（Ⅲ）由，可得时，.‎ 所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元. ……12分 ‎ ……12分 ‎20．（12分）‎ 已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．‎ ‎(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．‎ ‎(Ⅰ)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，‎ ‎∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长的椭圆，‎ 即动点Q的轨迹Γ的方程为； ……4分 ‎(Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为()．‎ ‎∵直线即与圆O:相切，‎ ‎∴得． ……5分 又∵点A、B的坐标(，)、(，)满足：‎ 消去整理得，‎ 由韦达定理得，．‎ 其判别式， ……7分 ‎∵==‎ ‎∈[，]．……9分 ‎． ……10分 ‎∵，且∈[，]．‎ ‎∴∈[，]． ……12分 ‎21．（12分）‎ 函数，‎ ‎（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ） ∴‎ 又所以在点处在切线方程为 ……4分 ‎ (Ⅱ)由于函数定义域为 所以 ……6分 令 则，可得当时，，当时，‎ 所以 ……8分 令，则，‎ 可得当时，，当时，‎ 所以 ……10分 因此，由得， ……12分 ‎ ‎ 选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，‎ 则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．‎ 解：（1）， ‎ 故曲线的普通方程为． ……2分 直线的直角坐标方程为．……4分 ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）． ……5分 设，两点对应的参数分别为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，‎ 可以得到， ……7分 所以 ……9分 或，‎ 解得或或． ……10分 ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知为正数，函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：‎ 解析:（Ⅰ）‎ 等价于或或，‎ 解得或或 ……3分 所以不等式的解集为. ……5分 ‎（Ⅱ）因为，所以，即.‎ 法1：∵，，‎ ‎∴ ……7分 ‎∴，……9分 ‎∴.当且仅当时等号成立 ……10分 法2：由柯西不等式得：‎ ‎， ……7分 ‎∴ ……9分 ‎∴，当且仅当时等号成立……10分