2020届高考理科数学二轮专题复习课件：解题技巧 小题攻关1 解客观题的6种方法 41页

第一篇 解题技巧 · 小题专攻 解客观题的 6 种方法 1 直接解答法 方法诠释 直接从题设条件出发 , 运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识 , 通过严密地推理和准确地运算 , 从而得出正确的结论 , 然后对照题目所给出的选项“对号入座” , 作出相应的选择 . 适用范围 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法 . 【例 1 】 设 F 1 ,F 2 是椭圆 E: =1(a>b>0) 的左、右 焦点 ,P 为直线 x= 上一点 ,△F 2 PF 1 是底角为 30° 的等 腰三角形 , 则 E 的离心率为 ( 　　 ) 　　　 A. B. C. D. 【解析】 选 C. 因为 F 1 ,F 2 是椭圆 E: =1(a>b>0) 的左、右焦点 , 所以 |F 2 F 1 |=2c. 因为 △F 2 PF 1 是底角为 30° 的等腰 三角形 , 所以 ∠PF 2 D=60°. 因为 P 为直线 x= 上一点 , 所以 |F 2 D|=|OD|-|OF 2 |= a-c. 所以 |PF 2 |= 又因为 |F 2 F 1 |=|PF 2 |, 即 2c=2 . 所以 e= 【技法点拨】 1. 有些小题没有间接解答的方法 , 你别无选择 . 2. 虽然存在间接解法 , 但你不能迅速找到思路 , 那么就必须果断地用直接解答的方法 . 3. 用直接法也要尽可能地优化你的思路 , 力争小题不大做 . 【变式训练】 1. 已知双曲线 -x 2 =1(a>0) 的一条渐近线方程为 y= x, 则该双曲线的离心率是 ( 　　 ) A. B. C.2 D. 【解析】 选 D. 双曲线 -x 2 =1(a>0) 的渐近线方程为 : y=±ax, 由题可知 :a= , 所以 c 2 =a 2 +b 2 =4, 即 :c=2, 所以双曲线 的离心率为 :e= 2.(2019· 泸州一诊 ) 已知函数 f(x)=log 2 (2x-a), 若 f(2)=0, 则 a=__________.  【 解析】 因为 f(x)=log 2 (2x-a), 所以 f(2)=log 2 (4-a)=0,4-a=1,a=3. 答案 : 3 2 特殊值法 方法诠释 从题干 ( 或选项 ) 出发 , 通过选取特殊情况代入 , 将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置 , 进行判断 . 特殊值法是“小题小做”的重要策略 , 要注意在怎样的情况下才可使用 , 特殊情况可能是 : 特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等 . 适用范围 适用于题目中含有字母或具有一般性结论的小题 . 【例 2 】 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中 , 若 a 5 a 6 =9, 则 log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a 10 =__________.  【解析】 方法一 ( 直接法 ): 由 9=a 5 a 6 =a 4 a 7 =a 3 a 8 =a 2 a 9 =a 1 a 10 知原式 =log 3 (a 5 a 6 ) 5 =log 3 3 10 =10. 方法二 ( 小题巧做 ): 因为答案唯一 , 故取一个满足条件的特殊数列 a 5 =a 6 =3,q=1, 则原式 =log 3 3 10 =10. 答案 : 10 【技法点拨】 用特殊值法解题时 , 要注意以下两点 : 第一 , 取特例尽可能简单 , 有利于计算和推理 ; 第二 , 若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符 , 则应选另一特例情况再检验 , 或改用其他方法求解 . 【变式训练】 设 f(n)=2+2 4 +2 7 +2 10 +…+2 3n+10 (n∈N), 则 f(n)=( 　　 ) A. (8 n -1) B. (8 n+1 -1) C. (8 n+3 -1) D. (8 n+4 -1) 【解析】 选 D. 当 n=0 时 ,f(0)=2+2 4 +2 7 +2 10 = = . 结合选项 , 当 n=0 时 , 只有选项 D 符合要求 . 3 数形结合法 方法诠释 根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形 , 利用函数图象或数学结果的几何意义 , 将数的问题 ( 如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等 ) 与某些图形结合起来 , 利用直观性 , 再辅以简单计算 , 从而确定正确答案 . 适用范围 适用于求解问题中含有几何意义的命题 【例 3 】 设函数 f(x) 定义在实数集上 , 它的图象关于直线 x=1 对称 , 且当 x≥1 时 ,f(x)=3 x -1, 则有 ( 　　 ) 【解析】 选 B. 当 x≥1 时 ,f(x)=3 x -1,f(x) 的图象关于直线 x=1 对称 , 则图象如图所 示 . 这个图象是个示意图 , 事实上 , 就算 画出 f(x)=|x-1| 的图象代替它也可以 . 由图知 , 符合要求的选项是 B. 【技法点拨】 1. 数形结合法的实质就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来 , 实现代数问题与图形之间的转化 . 2. 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现 , 从而大大降低思维难度 , 是解决数学问题的有力策略 . 【变式训练】 (2019· 静安一模 ) 若定义在实数集 R 上的奇函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=1 对称 , 且当 0≤x≤1 时 ,f(x)= , 则方程 f(x)= 在区间 (-4,10) 内的所有实根之和为 __________.  【解析】 结合题意 , 大致可以绘出 f(x) 的图象 , 如图所示 : 由图可知 , 一共有 8 个点 , 且这 8 个点关于 x=3 对称 , 故 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 =24. 答案 : 24 4 筛选判断法 ( 排除法 ) 方法诠释 1. 逐一验证法 : 将选项逐一代入条件中进行验证 . 2. 逻辑排除法 : 通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定 . 适用范围 这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较烦琐的情况 . 【例 4 】 (1) 函数 f(x)= 的图象大致为 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 因为 f(x)= , 所以 f(1)= >0, 排除 B,C; 因为 f(-1)= <0, 排除 A. (2) 设集合 A 和 B 都属于正整数集 , 映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 , 则在映射 f:2 n +n 下 , 象 20 的原象是 ( 　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 选 C. 经逐一验证 , 在 2 、 3 、 4 、 5 中 , 只有 4 符合方程 2 n +n=20. 【技法点拨】 使用排除法的前提条件是答案唯一 , 具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选” , 将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除 , 从而获得正确结论 . 【变式训练】 (2019· 九江一模 ) 如图 , 已知函数 f(x) 的图象关于坐标原点对称 , 则函数 f(x) 的解析式可能是 ( 　　 ) A.f(x)=x 2 ln |x| B.f(x)=xln x C.f(x)= D.f(x)= 【解析】 选 C. 由图象知 , 函数 f(x) 是奇函数 , 排除 A,B; 当 x∈(0,+∞) 时 ,f(x)= 显然恒大于 0, 与图象不符 , 排除 D. 5 巧用定义法 方法诠释 定义法 , 就是直接利用数学定义解题 , 数学中的定理、公式、性质和法则等 , 都是由定义和公理推演出来的 . 用定义法解题是最直接的方法 . 适用范围 涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题 【例 5 】 (2019· 成都七中一诊 ) 设抛物线 C:y 2 =12x 的焦 点为 F, 准线为 l , 点 M 在 C 上 , 点 N 在 l 上 , 且 (λ>0), 若 |MF|=4, 则 λ 的值为 ( 　　 ) A. B.2 C. D.3 【解析】 选 D. 过 M 向准线 l 作垂线 , 垂足为 M′, 根据已知 条件 , 结合抛物线的定义得 又 |MF|=4, 所以 |MM′|=4, 又 |FF′|=6, 所以 , 所以 λ=3. 【技法点拨】 定义是知识的基础 , 因此回归定义是解决问题的一种基本策略 . 【变式训练】 (2019· 西安一模 ) 椭圆 =1 的左焦点为 F, 直线 x=m 与椭圆相交于点 M,N, 当 △FMN 的周长最大时 ,△FMN 的面积是 ______.  【解析】 设椭圆右焦点为 F′, 则 |MF′|+|NF′|≥|MN|, 当 M,N,F′ 三点共线时 , 等号成立 , 所以 △FMN 的周长 |MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF′| +|NF′|=4a=4 , 此时 |MN|= , 所以此时 △FMN 的面积为 S= 答案 : 6 趋势判断法 方法诠释 趋势判断法 , 包括极限判断法 , 连同估值法 , 大致可以归于直觉判断法一类 . 顾名思义 , 趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果 , 要求化静为动 , 在运动中寻找规律 , 因此是一种较高层次的思维方法 . 适用范围 当题目从正面解析比较麻烦 , 特值法又无法确定正确的选项时 , 如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题 , 常用此种方法确定选项 . 【例 6 】 用长度分别为 2 、 3 、 4 、 5 、 6( 单位 :cm) 的 5 根细木棍围成一个三角形 ( 允许连接 , 但不允许折断 ), 能够得到的三角形的最大面积为 ( 　　 ) A.8 cm 2 B.6 cm 2 C.3 cm 2 D.20 cm 2 【解析】 选 B. 此三角形的周长是定值 20, 当其高或底趋 向于零时其形状趋向于一条直线 , 其面积趋向于零 , 可 知 , 只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形 状接近于正三角形时面积最大 , 故三边长应该为 7 、 7 、 6, 因此易知最大面积为 6 cm 2 . 【技法点拨】 有些题目 , 不必进行准确的计算 , 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计 , 便能作出正确的判断 , 此种方法可省去很多推导过程和比较复杂的计算 , 节省时间 , 是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要方法 . 【变式训练】 已知 sin θ= ,cos θ= , 则 tan 等于 ( 　　 ) A. B. C.- D.5 【解析】 选 D. 由于受条件 sin 2 θ+cos 2 θ=1 的制约 ,m 一定为确定的值进而推知 tan 也是一确定的值 , 又 <θ<π, 所以 < < , 故 tan >1. 所以 D 正确 .