高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_1_1不等式的基本性质 28页

1.1 　不等式 1.1.1 　不等式的基本性质 不等式和绝对值不等式 1 ．回顾和复习不等式的基本性质． 2 ．灵活应用比较法比较两个数的大小． 3 ．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明． 1 ． 实数的运算性质与大小顺序的关系 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知： a ＞ b ⇔ a － b ＞ 0 ； a ＝ b ⇔ a － b ＝ 0 ； a ＜ b ⇔ a － b ＜ 0. 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可． 练习 1 ： 比较大小： x 2 ＋ 3________ x 2 ＋ 1. ＞ 2. 不等式的基本性质 (1) 如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ，如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b.( 对称性 ) (2) 如果 a ＞ b ，且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ，即 a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c.( 传递性 ) (3) 如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ，即 a ＞ b ⇒ a ＋ c ＞ b ＋ c. 推论：如果 a ＞ b ，且 c ＞ d ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ d. 即 a ＞ b ， c ＞ d ⇒ a ＋ c ＞ b ＋ d. (4) 如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc. (5) 如果 a ＞ b ＞ 0 ，那么 a n ＞ b n (n∈ N ，且 n ＞ 1) ． ＞ ＞ 分析： 要判断上述命题的真假，依据就是实数的基本性质及实数运算的符号法则，以及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断．也可令式中字母取一些特殊值，以检验不等式是否成立． 跟踪训练 若 a ＞ b ， c ＞ d ，且 a 与 d 都是负数． 求证： ac ＜ bd. 证明： 因为 a ＞ b ，两边都乘以负数 d ，得 ad ＜ bd. 又因 c ＞ d ，两边都乘以负数 a ，得 ac ＜ ad. 由不等式的传递性，得 ac ＜ bd. 设 f(x) ＝ ax 2 ＋ bx ，且－ 1≤f( － 1)≤2 ， 2≤f(1)≤4. 求 f( － 2) 的取值范围． 一层练习 C D D B 二层练习 C B ( － 135° ， 135°) ＜ b ＜ 0 ＜ a 三层练习 10 ．若 0 ＜ x ＜ 1 ，试比较 |log a (1 － x)| 与 |log a (1 ＋ x)| 的大小． 11 ．已知 a ， b ∈ R ，比较 a 4 ＋ b 4 与 a 3 b ＋ ab 3 的大小． 13 ．已知 f ( x ) ＝ mx 2 － n ，且－ 4≤ f (1)≤ － 1 ，－ 1≤ f (2)≤5 ，求 f (3) 的取值范围． 1 ．不等关系与不等式 (1) 不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用 “ a ＞ b ” ， “ a ＜ b ” ， “ a≠b ” ， “ a≥b ” ， “ a≤b ” 等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现． (2) 将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视． 2 ．不等式的性质 对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是、或很显然的理由代替不等式的性质． 特别提醒 ： 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件． 3 ．比较两个实数的大小 要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号 ( 仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要 ) ．在具体判断两个实数 ( 或代数式 ) 的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定． 祝 您 学业有成