高中数学 2-3 数学归纳法双基限时训练 新人教版选修2-2 5页

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 2-3 数学归纳法双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左边计算所得的项为(　　)‎ A．1　　　　　　 　 　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.‎ 答案　C ‎2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．1 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析　当n＝1时，2>2不成立；‎ 当n＝4时，24>42＋1不成立；‎ 当n＝5时，25>52＋1成立；‎ 当n＝6时，26>62＋1成立．‎ 答案　C ‎3．下列代数式中，n∈N*，可能被13整除的是(　　)‎ A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1‎ C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2‎ 解析　验证n＝1时，由各代数式的值知A，C项不可能，在D项中43＋33＝91＝13×7.故选D项．‎ 答案　D ‎4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成(　　)‎ A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立 B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立 C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立 D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立 解析　∵当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B项．‎ 答案　B ‎5．某个与正整数有关的命题，如果n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，那么一定可推得当n＝k＋1时，命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)‎ A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 解析　用反证法知，假设n＝4时命题成立，则由题意知k＝5时命题成立，这与已知相矛盾，故n＝4时，命题不成立．‎ 答案　C ‎6．利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>时，由k递推到k＋1左边应添加的因式是(　　)‎ A. B.＋ C.－ D. 解析　f(k＋1)－f(k)＝＋＋…＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－.‎ 答案　C ‎7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：‎ ‎①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即 ‎1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.‎ 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②知，对任意n∈N*，等式成立．‎ 上述证明中的错误是________．‎ 解析　由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．‎ 答案　没有用上归纳假设 ‎8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．‎ 解析　观察不等式中分母的变化便知．‎ 答案　＋＋…＋＋>－ ‎9．用数学归纳法证明(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1时，右端需增乘的代数式为________．‎ 解析　假设n＝k(k∈N*)时成立，等号右边为2k×1×3×…×(2k－1)．‎ 当n＝k＋1时，等号右边为2k＋1×1×3×…×(2k－1)×(2k＋1)，右边增乘的代数式为2×(2k＋1)．‎ 答案　2×(2k＋1)‎ ‎10．证明不等式 ××…×<(n∈N*)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，显然<，不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k时，不等式成立，即××…×<，‎ 则n＝k＋1时，‎ ××…××<×＝，‎ 要证n＝k＋1时，不等式成立，只要<成立．‎ 即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2.‎ 即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.‎ 该不等式显然成立．‎ 即n＝k＋1时，不等式成立．‎ 由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，a3；‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ 解　(1)a1＝S1＝＋－1，即a＋‎2a1－2＝0，‎ ‎∵an>0，∴a1＝－1.‎ S2＝a1＋a2＝＋－1，‎ 即a＋‎2a2－2＝0，∴a2＝－.‎ S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，‎ 即‎2a＋‎2a3－2＝0，∴a3＝－.‎ ‎(2)由(1)猜想an＝－，n∈N*.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－成立．‎ 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝＋－.‎ ‎∴a＋2ak＋1－2＝0.‎ ‎∴ak＋1＝－.即当n＝k＋1时猜想也成立．‎ 综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．‎ ‎12．已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.‎ ‎(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(2)证明：|xn＋1－xn|≤()n－1.‎ 解　(1)由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝，‎ 由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1,2时，x2＝>x4＝，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2.‎ 易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝ ‎＝>0，‎ 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.‎ 也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．‎ 综合(1)和(2)知，命题成立．‎ ‎(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立；‎ 当n≥2时，易知0.‎ ‎∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋)(1＋xn－1)‎ ‎＝2＋xn－1≥.‎ ‎∴|xn＋1－xn|＝|－|‎ ‎＝≤|xn－xn－1|‎ ‎≤()2|xn－1－xn－2|≤…≤()n－1|x2－x1|‎ ‎＝()n－1.‎