吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学（一） 8页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 文 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·陕西四校联考]已知复数（是虚数单位），则的实部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·广西摸底]已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·资阳一诊]空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：‎ 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市10月1日—20日指数变化趋势 下列叙述错误的是（ ）‎ A．这20天中指数值的中位数略高于100‎ B．这20天中的中度污染及以上的天数占 C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎4．[2018·长春质监]已知等差数列中，为其前项的和，，，则（ ）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎5．[2018·曲靖一中]曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则的值为（ ）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎6．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎9．[2018·曲靖统测]若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·广安诊断]在区间上随机取一个数，则直线与圆 有两个不同公共点的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·赣州模拟]在平面直角坐标系中，设，分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上一点，是的中点，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．[2018·陈经纶中学]已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）‎ A．当时，存在某个位置，使得 B．当时，存在某个位置，使得 C．当时，存在某个位置，使得 D．时，都不存在某个位置，使得 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·三湘名校]已知：，满足约束条件，则的最小值为________．‎ ‎14．[2018·拉萨中学]若数列的前项和，则的通项公式____________．‎ ‎15．[2018·山东师大附中]已知，则___________．‎ ‎16．[2018·湖北七校联盟]已知，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是___________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在中，是边上的一点，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18．（12分）[2018·南昌模拟]中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军．在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员．为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员．2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员．培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”）并记录成绩．10月某次活动中海航班学员成绩统计如图所示：‎ ‎（1）根据图表，试估算学员在活动中取得成绩的中位数（精确到）；‎ ‎（2）根据成绩从、两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10，‎ 则称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率．‎ ‎19．（12分）[2018·陕西四校联]如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过，直线与椭圆交于，两点（，两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若以，两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．‎ ‎21．（12分）[2018·南城一中]已知函数（，，）．‎ ‎（1）若函数在和处取得极值，求，的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围． ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎[2018·齐鲁名校]在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为，．‎ ‎（1）求曲线、的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎[2018·陕西四校联考]已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2），，求的取值范围．‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学（一）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】∵，∴的实部为，故应选B．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】∵集合，，‎ ‎∴，故选C．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】对A，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；‎ 对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；‎ 对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；‎ 对D，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，‎ 所以正确，故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】等差数列中，为其前项的和，，，，，联立两式得到，，故答案为C．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由，得，∴，‎ 又，∴曲线在处的切线方程为，‎ 令，得；令，得．‎ ‎∴切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故选B．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】．故选C．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：‎ 故其体积，故选B．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，‎ ‎，，又，，，．故选A．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】，得，令，则在递减，‎ 当时，取得最小值为，所以．故选D．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】圆的圆心为，圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得，在区间上随机取一个数，使直线与圆有公共点的概率为，故选D．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】因为是的中点，为的中点，所以为三角形的中位线．‎ 因为，所以．‎ 又因为，，，所以，．‎ 在中，，所以，‎ 代入得，所以，即．故选C．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，∴若存在某个位置，使得直线，则平面，则，‎ 在中，，，则由直角边小于斜边可知，，即，‎ 结合选项可知只有选项中时，存在某个位置，使得，故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出约束条件表示的可行域，如图，由，可得，‎ 将变形为，平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值，‎ 最小值为，故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题意，当时，，解得，‎ 当时，，‎ 即，所以，‎ 所以数列表示首项为，公比为的等比数列，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由三角函数诱导公式：，‎ ‎．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】的对称轴方程为，‎ 即．‎ 的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则，，‎ 故．‎ 又由，解得，则．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知，得，又，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 整理得．解得．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以在中，由正弦定理．得，解得．‎ 因为，所以，从而，即是锐角，‎ 所以．‎ ‎18．【答案】（1）中位数：；（2）．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知：成绩在频率为，成绩在频率为，‎ 成绩在频率为，成绩在频率为，成绩在频率为，‎ 可知中位数落在组中，设其为，则，得．‎ ‎（2）海航班共50名学员，成绩在组内有人，设为，，‎ 成绩在组内有人，设为，，，，‎ 选两人有、、、、、、、、、、、、、、共15种；‎ 而“帮扶组”有、、、、、、、共8种，故选出两人为帮扶组的概率．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，是的中点，∴，‎ ‎∵直三棱柱中平面，∴平面平面，‎ ‎∴平面，∴．‎ 又∵在正方形中，，分别是，的中点，∴．‎ 又，∴平面．‎ ‎（2）连结交于，‎ ‎∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离．‎ ‎∴．‎ ‎20．【答案】（1）椭圆的方程：；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的标准方程为，，，‎ 由题意直线的斜率为，弦的中点在直线上，得，，‎ 再根据，作差变形得，所以，‎ 又因为椭圆过得到，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意可得椭圆右顶点，，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，此时要使以，两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以解得或（舍）此时直线为．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则有，‎ 化简得 ①‎ 联立直线和椭圆方程，得，‎ ‎，， ②‎ 把②代入①得，‎ 即 ‎，得或此时直线过或（舍）‎ 综上所述直线过定点．‎ ‎21．【答案】（1），；（2）的取值范围为．‎ ‎【解析】（1）由题可得．‎ ‎∵函数在和处取得极值，∴，‎ 解得，经验证知，满足条件．∴，．‎ ‎（2）由（1）知，∴．‎ 当变化时，，随的变化情况如下表：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由上表知当时，的最小值为，‎ ‎∵在上恒成立，∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为，‎ 当时，曲线的普通方程为，‎ 当时，曲线的普通方程为（或）．‎ ‎（2）将代入，‎ 化简整理得：，‎ 设，对应的参数分别为，，，，‎ 则恒成立，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ ‎①当时，，‎ 令，即，解得，‎ ‎②当时，，显然成立，所以，‎ ‎③当时，，‎ 令，即，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 因为，有成立，所以只需，‎ 解得，所以的取值范围为．‎