高考数学考点01 集合 13页

1 考点 01 集 合 考纲原文 1．集合的含义与表示 （1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义. 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. （3）能使用韦恩（V e n n ） 图表达集合的关系及运算. 知识整合 一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： . 2．集合中元素的特征： 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的 元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这 个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的集合是相同 的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作 . 4．常用数集及其记法： a A a A    属于，记为 不属于，记为  2 集合 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 注意：实数集 不能表示为{x|x 为所有实数}或{ }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.学# 二、集合间的基本关系 表示 关系　　 自然语言 符号语言 图示 子集 集合 A 中任意一个元 素都是集合 B 的元素 （或 ） 真子集 集合 A 是集合 B 的子 集，且集合 B 中至少有 一个元素不在集合 A 中 （或 ） 基 本 基本 关系 相等 集合 A，B 中元素相同 或集合 A，B 互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任 何非空集合的真子集 ， 必记结论：（1）若集合 A 中含有 n 个元素，则有 个子集，有 个非空子集，有 个真子集，有 个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即 . 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况， 否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算 N N +N Z Q R C R R A B B A A B B A A B A  ( )B B   2n 2 1n  2 1n  2 2n  ,A B B C A C    3 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于 集合 B 的所有元素组 成的集合 并集 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组 成的集合 补集 由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成 的集合 2．集合运算的相关结论 交集 并集 补集 3．必记结论 重点考向 考向一 集合的基本概念 解决集合概念问题的一般思路： （1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合， 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表： 集合 { | }A B x x A x B   且 | }{A B x x A x B   或 { | }U A x x U x A  且ð A B A A B B A A A A    A B B A  A B A A B B A A A A A  A B B A  ( )U U A Að ð UU  ð U U ð ( )U A A  ð ( )U A A Uð ( .)U U UA B A B A A B B A B A B          ð ð ð  { 0| }x f x   { 0| }x f x   { | }x y f x  { | }y y f x  {( , ) | }yx y f x 4 集合的 意义 方程 的解集 不等式 的 解集 函数 的定义域 函数 的值域 函数 图象 上的点集 （2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的 互异性.+网 典例引领 典例 1 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为 A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入 点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确． 变式拓展 1．已知集合 ，若 ，则非零实数 的值是_________． 考向二 集合间的基本关系 集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问 题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系 求参数的取值范围.   0f x    0f x   y f x  y f x  y f x  1, 1A    1,0, 1B    | , C a b a A b B  ＝ 2 5 典例引领 典例 2 已知集合 ，则集合 的子集的个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法 不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏． 变式拓展 2．已知集合 ， .若 ,则实数 的值为__________． 考向三 集合的基本运算 有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难 度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算 求解时，可以用定义法和 Venn 图法，在应用 Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算 常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有 和 的情况，可以直接应用德·摩根公式 和 进行运算. 典例引领 典例 3 已知集合 , ,则 A． B． 22{ | 0}, { | , }2 xA x B y y x x Ax      Z B 7 8 15 16  1,0,A a   0,B a B A a ( ) ( )U UA Bð ð ( ) ( )U UA Bð ð ( ) ( ) ( )U U UA B A B ð ð ð ( ) ( ) ( )U U UA B A B ð ð ð  P Q R ð 6 C． D． 【答案】C 【解析】因为 或 ，所以 又因为 ， 所以 ，故选 C． 【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其 中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到． 变式拓展 3．设集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 4．设集合 ,已知 ,那么 的取值范围是 A． B． C． D． 考向四 与集合有关的创新题目 与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上 定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧 扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程 之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、 运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性 质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 典例引领 2| 0 3P x x     Rð  P Q R ð 7 典例 4 设 是整数集 的非空子集，如果 ，有 ，则称 关于数的乘法是封闭的．若 是 的两个不相交的非空子集， ，且 ，有 ； ，有 ，则 下列结论恒成立的是 A． 中至少有一个关于乘法是封闭的 B． 中至多有一个关于乘法是封闭的 C． 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 考点通关 1．已知集合 ，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 2．已知单元素集合 ，则 A．0 B．-4 C．-4 或 1 D．-4 或 0 3．已知集合 ,则 = A． B． C． D． 4．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 5．已知集合 ,若 ,则实数 的值为 A． B． S Z ,a b S  ab S S ,T V Z T V  Z , ,a b c T  abc T , ,x y z V  xyz V ,T V ,T V ,T V ,T V  | 1A x x   0 A  0 A A  0 A   2| 2 1 0A x x a x     a  M Nð 8 C． D． 6．已知全集 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的 集合为 A． B． C． D． 7．已知集合 ， ，则满足条件的集合 的个数有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．设集合 ， ，则下列关系正确的是 A． B． C． D． 9．已知集合 ， ，定义 ，则集合 的所 有非空真子集的个数为 A．32 B．31 C．30 D．以上都不对 10．设集合 ， ，则 的真子集的个数为 A．3 B．4 C．7 D．8 11．设集合 ， 其中 ，若 ，则实数 _______． 12．若集合 ， ， ，则 的取值范围是_______． 13．已知集合 ，且下列三个关系：① ；② ；③ 有且只有一个正确，则 等于________. 14．已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数 1{ | ,0 1}M y y xx    A BR Rð ð B ARð  4,5,6P   1,2,3Q   , ,P Q x x p q p P q Q      P Q { , , } {0,1,2}a b c  2a  2b  0c  100 10a b c  A B C m 9 的取值范围是_______.！网 直通高考 1．（2018 浙江）已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 2．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知集合 ，则 A． B． C． D． 3．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 4．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知集合 ，则 中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 5．（2017 新课标全国Ⅰ理科）已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． 6．（2017 新课标全国Ⅱ理科）设集合 ， ．若 ，则 A． B． C． D． 7．（2017 天津理科）设集合 ，则 A． B． C． D． =U Að   2 2 0A x x x    A Rð  1 2x x    1 2x x    | 1 | 2x x x x    | 1 | 2x x x x    | 1 0A x x  ≥  0 1 2B  ， ， A B   0  1  1 2，  0 1 2， ，   2 2 3A x y x y x y   Z Z， ≤ ， ， A 3 1x  { | 0}A B x x  A B  R { | 1}A B x x  A B    1,2,4A   2 4 0B x x x m     1A B  B   1, 3  1,0  1,3  1,5 {1,2,6}, {2,4}, { | 1 5}A B C x x      R ( )A B C   {2} {1,2,4} {1,2,4,6} { | 1 5}x x   R 10 8．（2017 江苏）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为 ▲ ． 参考答案 变式拓展 1．【答案】 【解析】若 则 此时集合 B 不符合元素的互异性，故 若 则 符合 题意；若 则 不符合题意.故答案为 2. 4．【答案】C 【解析】∵集合 ，集合 ，且 ，∴ .故选 C． 考点通关 1．【答案】B 【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．【答案】D 【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即 得 或 .故选 D． 3．【答案】B 【解析】由已知 ，则 ，故选 B． 4．【答案】A 【解析】由题意，集合 ， 所以 ，故选 A． 5．【答案】B {1,2}A  2{ , 3}B a a  {1}A B  a  2 22 4 4 0,a a a     0a  4a   M Nð 11 【解析】 或 ，解得 或 ，由集合中元素的互异性知 ， 故选 B． 7．【答案】C 【解析】因为 ， ，所以集合 中一定含有元素 1，所以符合条件的集合 为 ，故选 C. 8．【答案】C 【解析】由题意 ， ，∴ ，只有 C 正确. 9．【答案】C 【 解 析 】 根 据 新 定 义 的 运 算 可 知 ， 的 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数 为 ，故选 C． 10．【答案】C 【解析】∵ , , , 其真子集个数为 ，故选 C． 11．【答案】 【解析】因为 A=B,所以 故答案为 . 12．【答案】 【解析】根据题意，可以求得 ， ，因为 ，所以 ，结合数轴可以 求得 ，所以 的取值范围是 ． 13．【答案】201 【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则 a≠2，b≠2，c=0，所以 a=b=1,与集合中元素的互 异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；  1,2,3,4,5P Q  P Q  52 2 30  12 （2）若只有②正确，则 b=2，a=2，c=0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的； （3）若只有③正确，则 c≠0，a=2，b≠2，所以 c=1，b=0，所以 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201． 14．【答案】 【解析】由题意， ，集合 ，则 ①当 时, ②当 m 时，成立； ③当 时, 综上所述， ． 直通高考 1．【答案】C 【解析】因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ,故选 C． 2．【答案】B 【解析】解不等式 得 ，所以 ，所以可以求得 ，故选 B． 【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中， 需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 3．【答案】C 【解析】易得集合 ,所以 ，故选 C． 4．【答案】A 【解析】 ，当 时， ；当 时， ； 当 时， ,所以共有 9 个元素，选 A． 1 ,12     { | 1 2}A B x x  ＜ ＜ { | 1 0}C x mx A B C  ＞ ， 0m＜ 1 1 1 12 02 2x m mm m       ＜ ， ， ， ＜ ； 0 0m＞ 1 1 1 1 0 1x m mm m       ＞ ， ， ， ＜ ， 1 12 m    | 1 2A x x   Rð { | 1}A x x   1,2A B  13 6．【答案】C 【解析】由 得 ，即 是方程 的根，所以 ， ，故选 C． 【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母 的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算 的准确性． 7．【答案】B 【解析】 ，故选 B． 8．【答案】1 【解析】由题意 ，显然 ，所以 ，此时 ，满足题意，故答案为 1． 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情 形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会 因为不满足“互异性”而导致错误．！网 （3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考 虑 时是否成立，以防漏解．  1A B  1 B 1x  2 4 0x x m   1 4 0, 3m m     1,3B  ( ) {1,2,4,6} [ 1,5] {1,2,4}A B C      1 B 2 3 3a   1a  2 3 4a   ,A B A B   