【数学】2020届一轮复习人教B版　直线与圆的方程学案 11页

考查角度1　直线与圆的方程 ‎　　分类透析一　圆的方程及其应用 例1 已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x±‎‎3‎‎3‎‎2‎+y2=‎4‎‎3‎ B.x±‎‎3‎‎3‎‎2‎+y2=‎‎1‎‎3‎ C.x2+y±‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4‎‎3‎ D.x2+y±‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎ 解析 由题意知圆心在y轴上,且被x轴所分的劣弧所对的圆心角为‎2π‎3‎.设圆心为(0,a),半径为r,则rsinπ‎3‎=1,rcosπ‎3‎=|a|,解得r=‎2‎‎3‎‎3‎,即r2=‎4‎‎3‎,|a|=‎3‎‎3‎,则a=±‎3‎‎3‎,故圆C的方程为x2+y±‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4‎‎3‎,选C.‎ 答案 C 方法技巧 关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助圆的几何性质求圆心坐标和半径.‎ ‎　　分类透析二　直线与圆的位置关系的判定与应用 例2 直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系为(　　).‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 解析 可将圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=9,‎ ‎∴圆心为(1,-2),半径r=3.‎ 又圆心在直线2tx-y-2-2t=0上,‎ ‎∴直线与圆相交,选C.‎ 答案 C 方法技巧 判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法进行判定,代数法就是利用方程的根的个数进行判定,几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系.‎ 例3 已知直线l:y=-‎3‎(x-1)与圆O:x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l与y轴交于点A,则△MOA的面积等于　　　　. ‎ 解析 依题意可得,直线l:y=-‎3‎(x-1)与y轴的交点A的坐标为(0,‎3‎).‎ 由x‎2‎‎+y‎2‎=1,‎y=-‎3‎(x-1),‎得点M的横坐标xM=‎1‎‎2‎或xM=1(不合题意).‎ 所以△MOA的面积为S=‎1‎‎2‎|OA|·xM=‎1‎‎2‎×‎3‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎4‎.‎ 答案 ‎‎3‎‎4‎ 方法技巧 根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问题,解题时要注意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以借助一些圆的性质进行计算.‎ ‎　　分类透析三　圆的切线和弦长问题 例4 过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　).‎ A.2‎3‎ B.4 C.2‎5‎ D.5‎ 解析 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦AB的中点时,|AB|的值最小.又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离d=‎5‎,所以|AB|=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎9-5‎=4.‎ 答案 B 方法技巧 先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此时最小值为0;若已知点在圆内,则该点为弦AB的中点时,|AB|的值最小,此时的最大值为已知圆的直径.‎ 例5 已知点M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4,则过点M的圆的切线方程为　　　　　　　　. ‎ 解析 结合已知条件,得圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.‎ 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.‎ 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),‎ 即kx-y+1-3k=0,由题意知‎|k-2+1-3k|‎k‎2‎‎+1‎=2,解得k=‎3‎‎4‎,故方程为y-1=‎3‎‎4‎(x-3),即3x-4y-5=0.‎ 综上,过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.‎ 答案 x=3或3x-4y-5=0‎ 方法技巧 解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在.‎ ‎1.(2018年全国Ⅲ卷,文6改编)已知圆C:(x-2)2+y2=2和直线x+y+2=0,点P在直线上,则过点P作圆C的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为　　　　. ‎ 解析 连接CQ,PC(图略),则|PQ|2=|PC|2-r2(其中r为已知圆C的半径),当|PC|最小时,|PQ|有最小值,即先求点C到直线的距离|PC|的最小值,故此时点C(2,0)到直线x+y+2=0的距离为2‎2‎,|PQ‎|‎min=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎-(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎6‎.‎ 答案 ‎‎6‎ ‎2.(2016年全国Ⅱ卷,文6改编)圆x2+y2-2ax-8y+13=0的圆心到直线x+y-1=0的距离为‎2‎,则a=(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-1 B.-5 C.‎3‎ D.-1或-5‎ 解析 圆x2+y2-2ax-8y+13=0化为标准方程为(x-a)2+(y-4)2=3+a2,‎ 故圆心坐标为(a,4),则圆心到直线x+y-1=0的距离d=‎|a+4-1|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎2‎,‎ 解得a=-1或a=-5,故选D.‎ 答案 D ‎3.(2016年全国Ⅲ卷,文15改编)已知直线l:x+y-1=0与圆x2+y2=25交于A,B两点(设点A位于第四象限),过A作l的垂线与x轴交于C点,则△ABC的面积为　　　　. ‎ 解析 联立方程组x+y-1=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎=25,‎得x=-3,‎y=4‎或x=4,‎y=-3,‎故点A(4,-3),点B(-3,4),所以直线AC的方程为y=x-7,得C(7,0),所以可得|AB|=7‎2‎,|AC|=3‎2‎.又因为AB⊥AC,所以S△ABC=‎1‎‎2‎|AB|·|AC|=‎1‎‎2‎×7‎2‎×3‎2‎=21.‎ 答案 21‎ ‎4.(2018年江苏卷,12改编)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),过点B作直线l的垂线,垂足为A,则以AB为直径的圆的圆心C的横坐标为(　　).‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 由题意得直线AB的方程为y-0=-‎1‎‎2‎(x-5),联立方程组y-0=-‎1‎‎2‎(x-5),‎y=2x,‎解得x=1,‎y=2,‎所以A(1,2),所以线段AB的中点坐标为C(3,1),则点C的横坐标为3,故选C.‎ 答案 C ‎1.(2018年陕西省高三教学质量检测试题(二))已知☉C:x2+y2-4x-6y-3=0,点M(-2,0)是☉C外一点,则过点M的圆的切线的方程是(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x+2=0,7x-24y+14=0‎ B.y+2=0,7x+24y+14=0‎ C.x+2=0,7x+24y+14=0‎ D.y+2=0,7x-24y+14=0‎ 解析 ☉C:x2+y2-4x-6y-3=0,即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心为(2,3),半径为4.点M(-2,0)是☉C外一点,显然x+2=0是过点M的圆的一条切线,‎ 设另一条切线为y=k(x+2),则‎|2k-3+2k|‎‎1+‎k‎2‎=4,解得k=-‎7‎‎24‎,所以切线方程为7x+24y+14=0.‎ 故选C.‎ 答案 C ‎2.(云南省保山市2018届普通高中高三毕业生第二次市级)若x,y满足约束条件(x-1)2+(y-1)2≤1,则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值为(　　).‎ A.‎2‎-1 B.3-2‎2‎ C.‎2‎+1 D.3+2‎‎2‎ 解析 (x-1)2+(y-1)2≤1表示的是以(1,1)为圆心,1为半径的圆上及其圆内部的点,而x‎2‎‎+‎y‎2‎=‎(x-0‎)‎‎2‎+(y-0‎‎)‎‎2‎的几何意义是点(x,y)到原点的距离,所以x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值为‎2‎-1,故选A.‎ 答案 A ‎3.(山西省2018届高三第一次模拟考试)若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为(　　).‎ A.2 B.2‎2‎ C.4 D.4‎‎2‎ 解析 ∵∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4,‎ 由不等式可得‎|PA|+|PB|‎‎2‎‎2‎≤‎|PA‎|‎‎2‎+|PB‎|‎‎2‎‎2‎=2,‎ ‎∴|PA|+|PB|≤2‎2‎,当且仅当|PA|=|PB|=‎2‎时,“=”成立,所以|PA|+|PB|的最大值为2‎2‎.故选B.‎ 答案 B ‎4.(安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1两点,以A1B1为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为(　　).‎ A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=17‎ C.(x+1)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+2)2=26‎ 解析 由题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).‎ 当直线AB的斜率不存在时,得圆C的方程为(x+1)2+y2=4,不符合题意,当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),联立方程组y‎2‎‎=4x,‎y=k(x-1),‎∴y2-‎4‎ky-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=‎4‎k,y1y2=-4.‎ ‎∴|y1-y2|=‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎=4‎1‎k‎2‎‎+1‎.‎ ‎∴以A1B1为直径的圆C的圆心为‎-1,‎‎2‎k,半径为2‎1‎k‎2‎‎+1‎.‎ ‎∴圆C的方程为(x+1)2+y-‎‎2‎k‎2‎=4‎1‎k‎2‎‎+1‎.‎ 把(-2,3)代入圆C的方程得1+‎3-‎‎2‎k‎2‎=4‎1‎k‎2‎‎+1‎,解得k=2.‎ ‎∴圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C.‎ 答案 C ‎5.(河南安阳2018届高三第二次模拟考试)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是(　　).‎ A.‎0,‎‎1‎‎4‎ B.‎‎0,‎‎1‎‎4‎ C.‎-∞,‎‎1‎‎4‎ D.‎‎-∞,‎‎1‎‎4‎ 解析 将x2+y2-kx+2y=0与x2+y2+ky-4=0相减,得公共弦所在的直线方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-(2y+4)=0.由‎2y+4=0,‎x+y=0‎得x=2,‎y=-2,‎ 所以定点为P(2,-2),因此2m+2n-2=0,‎ 所以m+n=1,mn≤m+n‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎,选D.‎ 答案 D ‎6.(江西上饶市2018届高三上学期第一次模拟考试)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以其焦点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,若∠BFC=θ且满足2sin2θ+sin θ-sin 2θ=3cos θ,当△ABC的面积为‎32‎‎3‎时,则实数p的值为(　　).‎ A.4 B.4‎2‎ C.8 D.8‎‎2‎ 解析 如图所示,‎ 由2sin2θ+sin θ-sin 2θ=3cos θ,‎ 移项得sin θ-sin 2θ=3cos θ-2sin2θ,‎ 化简为sin θ-2sin θcos θ=3cos θ-2+2cos2θ,‎ 即sin θ(1-2cos θ)=(cos θ+2)(2cos θ-1),‎ 可得(2cos θ-1)(sin θ+cos θ+2)=0,‎ 又sin θ+cos θ+2>0,‎ 故cos θ=‎1‎‎2‎,θ=π‎3‎.‎ 又由图知|EF|=p,则在△EFB中,|BC|=2|BE|=2ptanθ‎2‎.‎ 设点A到BC的距离为d,则d=|AF|=|BF|,|BF|=pcosθ‎2‎,S△ABC=‎1‎‎2‎|BC|·d=‎1‎‎2‎·2ptanθ‎2‎·pcosθ‎2‎=‎2‎‎3‎p2=‎32‎‎3‎,解得p=4,故选A.‎ 答案 A ‎7.(四川省德阳市2018届高三二诊考试)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎2‎,其一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截得的线段长为2‎2‎,则实数m的值为(　　).‎ A.3 B.1 C.‎2‎ D.2‎ 解析 双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎2‎,‎ 则ca=‎2‎,∴c2=2a2,∴a2+b2=2a2,∴a=b.‎ 不妨设其一条渐近线为x-y=0,‎ 圆(x-m)2+y2=4(m>0)的圆心为(m,0),半径为2,‎ 双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截得的线段长为2‎2‎,‎ ‎∴圆心到渐近线的距离为‎4-(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎|m|‎‎2‎,‎ ‎∴m=2,故选D.‎ 答案 D ‎8.(浙江省金华十校2018年4月高考模拟考试)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)经过圆x2+y2-4x-2y=0的圆心,则ab的取值范围是(　　).‎ A.‎1‎‎4‎‎,+∞‎ B.[4,+∞)‎ C.‎0,‎‎1‎‎4‎ D.(0,4]‎ 解析 将x2+y2-4x-2y=0化为(x-2)2+(y-1)2=5,可知圆心坐标为(2,1),代入椭圆方程,得‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1.‎ ‎∵‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1≥2‎4‎a‎2‎‎×‎‎1‎b‎2‎=‎4‎ab,‎ ‎∴ab≥4,当且仅当b2=2,a2=8时等号成立,‎ ‎∴ab的取值范围是[4,+∞),故选B.‎ 答案 B ‎9.(山东省实验中学2015级第二次模拟考试)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,e为双曲线的离心率,P是双曲线右支上的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B,则OB=(　　).‎ A.a B.b C.ea D.eb 解析 如图所示,延长F2B将PF1于点C,由题意知,F1(-c,0),F2(c,0),‎ ‎∵P,I,B三点共线,F2C⊥PB,∠CPB=∠F2PB,∴△PCF2是一个等腰三角形,∴PC=PF2,∴点B为F2C的中点.又点O为F1F2的中点,|PF1|-|PF2|=2a,‎ ‎∴在△F1CF2中,OB=‎1‎‎2‎CF1=‎1‎‎2‎(PF1-PC)=‎1‎‎2‎(PF1-PF2)=‎1‎‎2‎×2a=a.故选A.‎ 答案 A ‎10.(河北省石家庄市2018届高三第一次模拟考试试题)已知F1、F2分别为双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,△AF1F2的内切圆半径为r1,△BF1F2的内切圆半径为r2,若r1=2r2,则直线l的斜率为(　　).‎ A.1 B.‎2‎ C.2 D.2‎‎2‎ 解析 设△AF1F2的内切圆圆心为I1,△BF1F2的内切圆圆心为I2,边AF1,AF2,F1F2上的切点分别为M,N,E,易知I1,E的横坐标相等,则|AM|=|AN|,|F1M|=|F1E|,|F2N|=|F2E|.‎ 由|AF1|-|AF2|=2a,即|AM|+|MF1|-(|AN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2a,即|F1E|-|F2E|=2a,记I1的横坐标为x0,则E(x0,0),于是x0+c-(c-x0)=2a,得x0=a.‎ 同理,内心I2的横坐标也为a,则有I1I2⊥x轴,‎ 设直线l的倾斜角为θ,则∠OF2I2=θ‎2‎,∠I1F2O=90°-θ‎2‎,‎ 则tanθ‎2‎=r‎2‎F‎2‎E,tan∠I1F2O=tan‎90°-‎θ‎2‎=‎1‎tanθ‎2‎=r‎1‎F‎2‎E.∵r1=2r2,∴tan2θ‎2‎=‎1‎‎2‎,tanθ‎2‎=‎2‎‎2‎.‎ ‎∴tan θ=‎2tanθ‎2‎‎1-tan‎2‎θ‎2‎=2‎2‎.‎ 故选D.‎ 答案 D ‎11.(河北省衡水中学2018届高三数学三轮复习系列七)过抛物线y=x‎2‎‎4‎的焦点引圆x2+y2-6x+8=0的两条切线所形成的角的正切值为　　　　. ‎ 解析 如图所示,抛物线的焦点为A(0,1),圆心为B(3,0),半径为1,‎ 设两条切线所成的角∠CAD=2∠CAB=2θ,而tan θ=BCAC=‎1‎‎3‎,所以tan 2θ=‎2tanθ‎1-tan‎2‎θ=‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎3‎‎4‎.‎ 答案 ‎‎3‎‎4‎ ‎12.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,且圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为　　　　　　　. ‎ 解析 由题意可知圆心在直线y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),‎ 因为圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,‎ 所以圆心到两条直线的距离相等,即‎|2a-2|‎‎2‎=‎|2a+2|‎‎2‎,解得a=0,即圆心为(0,2).‎ 又r=‎|-2|‎‎2‎=‎2‎,所以圆M的标准方程为x2+(y-2)2=2.‎ 答案 x2+(y-2)2=2‎ ‎13.在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-2‎2‎=0的距离d∈[0,1]的概率为　　　　. ‎ 解析 由题意知圆心(0,0)到直线x+y-2‎2‎=0的距离为‎|-2‎2‎|‎‎1+1‎=2,则直线x+y-2‎2‎=0与圆x2+y2=4相切.‎ 设直线x+y+m=0与直线x+y-2‎2‎=0的距离为1,则‎|m+2‎2‎|‎‎2‎=1,∴m=-‎2‎或m=-3‎2‎(舍去).‎ 如图所示,‎ 设直线x+y-‎2‎=0与圆交于A,B两点,作OD⊥AB 由题意可得sin∠OAD=ODOA=‎1‎‎2‎,故∠OAD=30°,‎ 则∠AOB=180°-30°×2=120°,‎ 由题意可知在劣弧AB上的点均为满足要求的点.‎ 由角度型几何概型公式可得满足题意的概率为‎120°‎‎360°‎=‎1‎‎3‎.‎ 答案 ‎‎1‎‎3‎ ‎14.(河南省南阳市第一中学2018届高三第十二次考试)已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为　　　　. ‎ 解析 圆C的方程可化为x2+(y-1)2=1,可知圆的半径为1,|CA|=|CB|=1.又圆心(0,1)到直线y=x-1的距离d=‎2‎‎2‎=‎2‎,|PC|的最小值为‎2‎,所以|PA|2+|PB|2=(PA+PB)2-2PA·PB=4PC‎2‎-2(‎PC ‎+CA)·(PC+CB)=4PC‎2‎-2(PC+CA)·(PC-CA)=2PC‎2‎+2CA‎2‎=2PC‎2‎+2≥2×2+2=6,所以|PA|2+|PB|2的最小值为6.‎ 答案 6‎ ‎15.(山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试)设m>0,双曲线M:x‎2‎‎4‎-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-‎5‎,0),B(‎5‎,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为　　　　. ‎ 解析 由题意知,a=2,c=‎5‎,点A,B分别为双曲线的左,右焦点.因为点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上.由圆的方程可知其圆心为C(0,m),半径为‎5‎.联立x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1,‎x‎2‎‎+(y-m‎)‎‎2‎=5,‎消去x得5y2-2my+m2-1=0.由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,且m>0,解得m=‎5‎‎2‎,则5y2-2×‎5‎‎2‎y+‎5‎‎2‎‎2‎-1=0,解得y=‎5‎‎10‎,即所求距离为‎5‎‎10‎.‎ 答案 ‎‎5‎‎10‎