数学文卷·2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测（2018 12页

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 复数( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若满足，则的最大值为( )‎ A．1 B．3 C．9 D．12 ‎ ‎4.已知，则( )‎ A．-6 B．6 C. D．‎ ‎5.已知等差数列中，,则( )‎ A．3 B．7 C.13 D．15‎ ‎6. 执行下面的程序框图，则输出的=( )‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7.已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )‎ A．若,则 B．若,则 ‎ C.若，则 D．若，则与所成的角和与所成的角相等 ‎8. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )‎ A． B．2 C. D．‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：‎ ‎ ‎ 其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )‎ ‎①寿命在300-400的频数是90；‎ ‎②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；‎ ‎③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：‎ ‎ ‎ ‎④寿命超过的频率为0.3‎ A．① B．② C.③ D．④‎ ‎12.设函数,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，这个函数的图象在处的切线方程为 ．‎ ‎14.已知，若，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎16.已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则的横坐标为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的值域；‎ ‎(Ⅱ)若为的中线，已知，求的长.‎ ‎18. 为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:‎ 平均每天使用手机小时 平均每天使用手机小时 合计 男生 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 女生 ‎3‎ ‎7‎ ‎10‎ 合计 ‎18‎ ‎17‎ ‎35‎ ‎(I)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的7名女生中，有4人使用国产手机，从这7名女生中任意选取2人，求至少有1人使用国产手机的概率；‎ ‎(II) 根据列联表，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关（的观测值精确到0.01）.‎ 附：‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎ ‎ 参考公式： ‎ ‎19. 如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面 ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证：; ‎ ‎(Ⅱ)求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知椭圆的焦距为，且过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设分别是椭圆的下顶点和上顶点，是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于为线段的中点，直线与直线交于点为线段的中点，‎ 为坐标原点，求证：‎ ‎21.已知函数的.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)比较与的大小，并证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.‎ ‎(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（文科）‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: BCCAD 6-10:CBDBC 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14.0 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ），‎ 化简得. ‎ 因为，所以， ‎ 当时，取得最大值1，‎ 当或时，取得最小值， ‎ 所以，,‎ 所以的值域为. ‎ ‎（Ⅱ）因为，，‎ 由（Ⅰ）知，,‎ 又因为，‎ 根据余弦定理得，‎ 所以.‎ 因为,所以为直角三角形, 为直角. ‎ 故在中，,‎ 所以. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（Ⅰ）设名女生中，使用国产手机的4人分别为，使用非国产手机的3人为.从7人中任选2人，共有21种情况，分别是,，,,,,.‎ 其中，事件 “至少有1人使用国产手机”包含18种情况， ‎ 所以，‎ 答:至少有1人使用国产手机的概率. ‎ ‎（Ⅱ）由列联表得：． ‎ 由于，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．‎ ‎19．（Ⅰ）证明：由题意可知，，‎ ‎,， ‎ 所以，在△中，，所以；‎ 因为平面平面且是交线，平面 ‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以 ‎ ‎（Ⅱ）解：取中点，连接.‎ 因为且为中点，所以.‎ 因为面，面面，是交线，‎ 所以平面, ‎ 故长即为点到平面的距离，‎ 算得. ‎ 由（Ⅰ）可知，,是直角三角形,‎ ‎，所以. ‎ ‎. ‎ 设点到平面的距离为，‎ 因为, ‎ 所以,解得，‎ 故点到平面的距离为. ‎ ‎ ‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题设知焦距为，所以. ‎ 又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得 因为，解得， ‎ 故所求椭圆的方程是． ‎ ‎（Ⅱ）设，，则，．‎ 因为点在椭圆上，所以．即． ‎ 又，所以直线的方程为． ‎ 令，得，所以．‎ 又，为线段的中点，所以． ‎ 所以，．‎ 因 ‎，‎ 所以,即．‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由可得，‎ ‎，‎ 令，得，，‎ 令，得或，‎ 令，得. ‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ‎ ‎（Ⅱ）.‎ 证明如下：‎ 设，‎ 则. ‎ 显然为增函数，‎ 因为，，‎ 所以存在唯一的使得. ‎ 当时，,当时，.‎ 所以在处取得最小值，且.‎ 又，所以， ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以. ‎ ‎22.解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，， ‎ 圆的普通方程为，‎ 把代入方程得，， ‎ 所以的极坐标方程为； ‎ 的平面直角坐标系方程为； ‎ ‎（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得：‎ ‎， ‎ ‎，‎ 则的面积为 ‎,‎ 所以的面积为. ‎ ‎23. 解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式. ‎ 当时，上式化为，解得； ‎ 当时，上式化为，无解； ‎ 当时，①式化为，解得. ‎ 所以的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）当时，， ‎ 则当，恒成立.‎ 设，则在上的最大值为. ‎ 所以，即，得. ‎ 所以实数的取值范围为.‎