河南省洛阳市孟津二高2019届高三第五次模拟数学（文）试卷 10页

‎2019届高三文科数学 （20）‎ 一、选择题 ‎1．已知全集U＝R，A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{y｜y＞0}，则A∩（CRB）＝‎ ‎ A．（－1，0） B．（－1，0] C．（0，1） D．[0，1）‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则｜z｜＝‎ ‎ A．5 B． C． D．‎ ‎3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f（x）＝2019x2018＋2018x2017＋…＋2x＋1，程序框图设计的是求f（x0）的值，在M处应填的执行语句是 ‎ A．n＝2018－I B．n＝2019－i ‎ C．n＝i＋1 D．n＝i＋2‎ ‎4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2＋y2＝6x＝0截得的线段长为 ‎ A． B．3 C． D．‎ ‎5．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是 ‎ A．甲队平均得分高于乙队的平均得分 ‎ B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 ‎ C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差 ‎ D．甲乙两队得分的极差相等 ‎6．将函数f（x）＝2sinx的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，下面四个结论正确的是 ‎ A．函数g（x）在区间[0， ]上为增函数 ‎ B．将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称 ‎ C．点（ ，0）是函数g（x）图象的一个对称中心 ‎ D．函数g（x）在[π，2π]上的最大值为1 ‎ ‎7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数，则函数y＝[f（x）]的值域为 A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}‎ ‎8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．2‎ ‎9．已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为 ‎ A．2 B．3 C． D．4‎ ‎10．已知平面向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝，若对于任意实数k，不等式｜ka＋tb｜＞1恒成立，实数t的取值范围是 ‎ A．（－∞，－）∪（，＋∞） B．（－∞，－）∪（，＋∞）‎ ‎ C．（，＋∞） D．（，＋∞）‎ ‎11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为 ‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎12．函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的可导函数，为其导函数，若x＋f（x）＝（x－2）且 f（3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为 A．（0，2） B．（0，3） C．（2，3） D．（3，＋∞）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上．）‎ ‎13．已知O为坐标原点，向量＝（1，2），＝（－2，－1），若2＝，则｜｜＝_____________．‎ ‎14．设实数x，y满足则z＝的取值范围为___________．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA．C∈（0，），a＝，‎ cosB＝，则b＝___________．‎ ‎16．已知函数f（x）＝a－x2－b（a，b∈R），若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且≥2，则实数a的取值范围是_____________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分） ‎ ‎ 数列{}满足：＋＋…＋＝n2＋n，n∈．‎ ‎ （Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设＝，数列{}的前n项和为，求满足＞的最小正整数n．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF．‎ ‎ （Ⅰ）求证：AD⊥PB；‎ ‎ （Ⅱ）若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD?若存在，求四面体D－CEG的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”。设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献思想大师们，都能保护知识产权。为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3 ：1。将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示。‎ ‎ （Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年人有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97．5％的把握认为阅读方式与年龄有关?‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为4＋2，且面积的最大值为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设A，B是椭圆上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2（O为坐标原点），‎ 且k1k2＝－，求｜OP｜的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f（x）＝axlnx－bx2－ax．‎ ‎ （Ⅰ）曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x＋y＋＝0，求a，b的值；‎ ‎ （Ⅱ）若a≤0，b＝时，，x2∈（1，e），都有＜3，求a的取值范围．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求｜PM｜·｜PN｜的值；‎ ‎（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 BCBDC ADACB CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）由题意知，‎ 当时有， ----------------2分 两式相减得， ----------------4分 当时，也符合，所以 ----------------6分 ‎（2） ----------------8分 所以，----------------10分 由得，，所以满足条件的最小正整数为10. ----------------12分 ‎18. （1）证：连接，是等边三角形，，‎ 又底面是菱形，，，‎ ‎，平面，平面，.----------------4分 ‎（2）由（1）知，.‎ ‎，‎ 又，， ----------------6分 连接交于点，过作,.‎ 又∵，.‎ ‎∵，. ----------------10分 ‎，----------------12分 ‎19. 解：（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，‎ 解得 a＝0.035， ----------------2分 所以通过电子阅读的居民平均年龄为：‎ ‎20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；-------5分 电子阅读 纸质阅读 合计 青少年 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 中老年 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎（2）‎ 由表中数据，计算，----------------10分 ‎∴能有97.5%以上的把握认为“阅读方式与年龄之间有关系”. ----------------12分 ‎20. 解：（1）由椭圆的定义可得2（a+c）＝，所以a+c＝①，‎ 当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为②，‎ 由①②及a2＝c2+b2联立求得a＝2，b＝1，c＝，‎ 可得椭圆方程为. ----------------4分 （2） 当的斜率不存在时，设直线的方程为：，‎ 不妨取点，则，，. ----------------5分 当的斜率存在时,设直线AB的方程为：，‎ 由可得，‎ ‎.，.‎ 化简得：. ----------------8分 ‎，‎ 设，则，. ----------------10分 ‎，.‎ 综上，的取值范围为． ----------------12分 ‎21. 解：（1）由题知，，‎ ‎ 所以，又有，所以.‎ 即 ----------------4分 ‎（2）当时，‎ 在上单调递减.-------5分 不妨设，则，原不等式即为，‎ 即即 令则在上为单调递增函数，‎ 所以有在上恒成立. ---------------8分 令，‎ 令，‎ 所以在上单调递减，，在上单调递增，，所以 ‎ 综上， ----------------12分 ‎22. 解（1）已知曲线的标准方程为，的坐标为，‎ 将直线的参数方程与曲线的标准方程联立，‎ 得，则. ----------------5分 ‎ (2)由曲线的标准方程为，可设曲线C上的动点，‎ 则以 为顶点的内接矩形周长为，.‎ 因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当时等号成立. ------------10分 ‎23.解（1）当时， ‎ 当， ‎ 当，，舍去.‎ 当，综上，原不等式的解集为 . ----------------5分 ‎（2）‎ 当时，；‎ 当时，；综上， . ----------------10分