数学文卷·2018届福建省莆田市高三下学期教学质量检测（3月）（2018 12页

‎2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ A． B． C．14 D．15‎ ‎4.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．5 B．‎6 C.8 D．13‎ ‎5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，‎ 则估计该次数学成绩的中位数是（ ）‎ A．71.5 B．‎71.8 C.72 D．75‎ ‎6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（ ）‎ A．乙丑年 B．丙寅年 C.丁卯年 D．戊辰年 ‎7.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为（ ）‎ A． B．‎2 C. D．3‎ ‎8.已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．的最小正周期为 B．在区间上是增函数 ‎ C. 的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称 ‎9.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班，每人各值班两天，则甲、乙均不连续值班的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C.三棱柱 D．四棱柱 ‎11.已知圆．若是圆上不同两点，以为边作等边，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎12.已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）‎ A． B．‎2 C.4 D．不是定值 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每题小5分，共20分．‎ ‎13.已知向量，．若，则 ．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知数列满足，，则 ．‎ ‎16.已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积． ‎ ‎18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ 由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：‎ ‎10.15‎ ‎109.94‎ ‎0.16‎ ‎-2.10‎ ‎0.21‎ ‎21.22‎ ‎（1）根据以上信息，建立关于的回归方程；‎ ‎（2）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，分别为中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是等边三角形，平面平面，，，求三棱锥的体积．‎ ‎20.已知两定点，，动点使直线的斜率的乘积为．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于两点，是否存在常数，使得？并说明理由．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若存在，使得，求的值，并说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）与相交于两点，设点为上异于的一点，当面积最大时，求点到的距离．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBDCC 6-10:CBDBA 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14.4 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，由正弦定理得，‎ 又，所以，‎ 故，‎ 所以，‎ 又，所以，故，‎ 又，所以．‎ ‎（2）因为，故，‎ 在中，，‎ 所以，故，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以四边形的面积为．‎ ‎18.解：（1），‎ ‎，‎ 则关于的回归方程为．‎ ‎（2）依题意，‎ 当时，，‎ 所以年利润的预报值是1090.4.‎ ‎19.解：（1）取中点，连结．‎ 因为中，分别为中点，‎ 所以．‎ 又因为四边形是平行四边形，所以．‎ 又是中点，所以，所以．‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取中点，连结，则，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面．‎ 又由（1）知平面，所以．‎ 又因为为中点，‎ 所以．‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎20.解：（1）设，由，‎ 得，即．‎ 所以动点的轨迹方程是．‎ ‎（2）因为，当直线的斜率为0时，与曲线没有交点，不合题意，‎ 故可设直线的方程为，‎ 联立，消去得，‎ 设，则，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故存在实数，使得恒成立．‎ ‎21.解：（1）因为在定义域上为增函数．‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立．‎ 令，，则，‎ 所以在上为减函数，故，所以．‎ 故的取值范围为．‎ ‎（2）因为，‎ 取，得，又，所以．‎ 所以存在整数，当时，．‎ 令，则，‎ 令，得．‎ ‎，的变化情况如下表：‎ 所以时，取到最小值，且最小值为．‎ 即．‎ 令，则，‎ 令，由，得，‎ 所以当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以，即．‎ 因此，从而在上单调递增，‎ 所以，即．‎ 综上，．‎ ‎22.解：（1）因为直线的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ 曲线的参数方程为，（是参数），‎ 所以曲线的普通方程为．‎ ‎（2）直线与曲线相交于两点，所以为定值．‎ 要使的面积最大，只需点到直线的距离最大．‎ 设点为曲线上任意一点．‎ 则点到直线的距离，‎ 当时，取最大值为．‎ 所以当面积最大时，点到的距离为．‎ ‎23.解：（1）当时，不等式，即．‎ 可得，或，或．‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）因为．‎ 当且仅当时，取得最小值．‎ 又因为对任意的恒成立，所以，‎ 即，故，解得．‎ 所以的取值范围为．‎