2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第3章 第3节 三角函数图像与性质 10页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数图像与性质 ‎1．(2014·陕西，2,5分)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π 解析：选B　∵T＝＝π，∴B正确．‎ ‎2．(2014·北京，14,5分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ 解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.‎ 答案：π ‎3．(2014·天津，15,13分)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ 解析：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·－cos2x＋ ‎＝sin x·cos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数．‎ f＝－，f＝－，f＝.‎ 所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎4．(2014·福建，16,13分)(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解析：解法一：‎ ‎(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝－＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 解法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎5．(2014·重庆，17,13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ 解析：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以 ‎2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….因－≤φ<得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ ‎(2)由(1)得f＝sin ＝，‎ 所以sin ＝.‎ 由<α<得0<α－<，‎ 所以cos ＝＝＝.‎ 因此cos＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎6. (2013新课标全国Ⅰ，5分)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为(　　)‎ 解析：选C　本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x∈[0，π]的情形，又当x∈[0，π]时，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的极大值点为π，靠近π，可知C对．‎ ‎7．(2013山东，5分)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B. C．0 D．－ 解析：选B　本题考查三角函数的图象变换、性质等基础知识和基本方法，考查运算求解能力，考查方程思想．把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin ，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.‎ ‎8．(2013湖北，5分)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　本题考查三角函数的图象与性质，意在考查考生对三角函数变形以及图象平移等知识的掌握．y＝ cos x＋sin x＝2＝2sin的图象向左平移m个单位后，得到y＝2sin的图象，此图象关于y轴对称，则x＝0时，y＝±2，即2sin ＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝，故选B.‎ ‎9．(2013新课标全国Ⅰ，5分)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ 解析：本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最值的方法，意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力．先利用asin x＋bcos x的结构通过构造进行合并化简为一个函数，然后讨论函数f(x)取到最值的条件，并利用诱导公式求解．f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.‎ 答案：－ ‎10．(2013江西，5分)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．‎ 解析：本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性，意在考查考生的转化与化归能力以及运算能力．y＝sin 2x＋2 sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin(2x－)＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.‎ 答案：π ‎11．(2013陕西，12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期．‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．‎ f(x)＝·( sin x，cos 2x)‎ ‎＝cos xsin x－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝cos sin 2x－sincos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，知 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得的最小值－.‎ 因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.‎ ‎12．(2013湖南，12分)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.‎ ‎(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；‎ ‎(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．‎ 解：本小题主要考查两角差的正、余弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系式及三角函数单调性，考查三角恒等变形能力和运算求解能力．属中档题．‎ f(x)＝sin＋cos ‎＝sin x－cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x，‎ g(x)＝2sin2＝1－cos x.‎ ‎(1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.‎ 从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.‎ 于是sin≥.‎ 从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.‎ 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.‎ ‎13．(2012新课标全国，5分)已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A．[，] B．[，]‎ C．(0，] D．(0,2]‎ 解析：函数f(x)＝sin(ωx＋)的图像可看作是由函数f(x)＝sin x的图像先向左平移个单位得f(x)＝sin(x＋)的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数f(x)＝sin(x＋)的减区间是[，]，所以要使函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上是减函数，需满足解得≤ω≤.‎ 答案：A ‎14．(2012湖南，5分)函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为(　　)‎ A．[－2,2] B．[－， ]‎ C．[－1,1] D．[－， ]‎ 解析：因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x＝( sin x－cos x)＝sin(x－)，所以函数f(x)的值域为[－， ]．‎ 答案：B ‎15．(2012天津，13分)已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ 解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．　‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间[－，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．又f(－)＝－1，f()＝，f()＝1，故函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎15．(2011山东，5分)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 解析：由于函数f(x)＝sinωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.‎ 答案：C ‎16．(2011安徽，5分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)‎ B．[kπ，kπ＋](k∈Z)‎ C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)‎ D．[kπ－，kπ](k∈Z)‎ 解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．‎ 答案：C ‎17．(2011江苏，5分)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，‎ 则线段P1P2的长为________．‎ 解析：设P(x0，y0)，则由消去y0得，6cosx0＝5tanx0⇒6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sin x0－6＝0，解得sinx0＝－(舍去)或，∵PP1⊥x轴，且点P、P1、P2共线，∴|P1P2|＝sinx0＝.‎ 答案： ‎18．(2011浙江，4分)函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是__________．‎ 解析：f(x)＝＝－sin 4x，故其最小正周期为＝.‎ 答案： ‎19．(2010广东，14分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的解析式；‎ ‎(3)若f(α＋)＝，求sinα.‎ 解：(1)T＝.‎ ‎(2)由题设可知A＝4且sin(3×＋φ)＝1，‎ 则φ＋＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝4sin(3x＋)．‎ ‎(3)∵f(α＋)＝4sin(2α＋)＝4cos2α＝，‎ ‎∴cos2α＝.‎ ‎∴sin2α＝(1－cos2α)＝.‎ ‎∴sinα＝±.‎ ‎20．(2010安徽，5分)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，‎ ‎12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)‎ A．[0,1] B．[1,7]‎ C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]‎ 解析：由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，‎ 则ω＝＝，‎ 又当t＝0时，A的坐标为(，)，‎ ‎∴此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，‎ 可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．‎ 答案：D