- 85.50 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
课后限时集训6
函数的奇偶性与周期性
建议用时:45分钟
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
D [当x<0时,-x>0,
∵当x≥0时,f(x)=ex-1,∴f(-x)=e-x-1.
又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.
故选D.]
2.函数f(x)=的图像( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称
D.关于直线y=x对称
B [因为f(x)==3x+3-x,易知f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图像关于y轴对称.]
3.下列函数为奇函数的是( )
A.f(x)=x3+1 B.f(x)=ln
C.f(x)=ex D.f(x)=xsin x
B [对于A,f(-x)=-x3+1≠-f(x),所以其不是奇函数;对于B,f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以其是奇函数;对于C,f(-x)=e-x≠-f(x),所以其不是奇函数;对于D,f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以其不是奇函数.故选B.]
4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则f(-7)=( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
B [因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
5
且f(x)=
所以f(-7)=-f(7)=-log2(7+1)=-3.]
5.(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则函数f(x)的值域为( )
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-3,3) D.(-4,4)
A [法一:由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),所以a-=-a+,得2a=+,所以a=+=1,所以f(x)=1-.因为ex+1>1,所以0<<1,-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).
法二:函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,所以f(0)=a-1=0,即a=1,所以f(x)=1-.因为ex+1>1,所以0<<1,-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).]
二、填空题
6.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ln x,则f的值为________.
ln 2 [由已知可得f =ln =-2,
所以f=f(-2).
又因为f(x)是偶函数,
所以f=f(-2)=f(2)=ln 2.]
7.已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+2)=,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(2 019)=________.
3 [由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]===f(x).故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)=f(4×504+3)=f(3)=3.]
8.已知函数f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)=________.
-4 [法一:因为f(x)+1=x+,
5
设g(x)=f(x)+1=x+,
易判断g(x)=x+为奇函数,
故g(x)+g(-x)=x+-x-=0,
即f(x)+1+f(-x)+1=0,故f(x)+f(-x)=-2.
所以f(a)+f(-a)=-2,故f(-a)=-4.
法二:由已知得f(a)=a+-1=2,
即a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.]
三、解答题
9.f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式.
[解] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),
所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.
综上可得f(x)的解析式为
f(x)=
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
[解] (1)证明:由f=-f,
且f(-x)=-f(x),
知f(3+x)=f
=-f=-f(-x)=f(x),
所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
5
1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=
( )
A.ex-e-x B.(ex+e-x)
C.(e-x-ex) D.(ex-e-x)
D [因为f(x)+g(x)=ex,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,所以g(x)=(ex-e-x).]
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
B [因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),
所以当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3;当4≤x≤6时,f(x)=0有三个根,即x5=4,x6=5,x7=6,故f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]
3.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)=________.
2 [∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,
∴f(-x+1)=f(x+1),
f(x)=-f(-x),f(0)=0,
∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),
∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,
∴f(4)+f(5)=0+2=2.]
4.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
[解] (1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
5
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图像(如图所示)知所以1<a≤3,
故实数a的取值范围是(1,3].
1.定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)的值等于( )
A.403 B.405
C.806 D.809
B [定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=403×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=403+0+1+1+0=405.]
2.已知函数f(x)=log2(-x)是奇函数,则a=________,若g(x)=则g(g(-1))=______.
1 [由f(x)=log2(-x)得-x>0,则a>0,所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=log2=0,解得a=1.所以g(-1)=f(-1)=log2(+1)>0,g(g(-1))=2-1=.]
5