宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试卷 9页

理科数学试题卷 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知是关于的方程（，）的一个根，则 A． B． C． D．‎ ‎3．等比数列{an}中，，则与的等比中项是 A．±4 B．‎4 ‎ C． D．‎ ‎4．要得到函数的图象，只需将函数的图象 A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎5．按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．总体由编号为01,02，...，39,40的40个个体组成.利用 ‎60 44 66 44 21‎ ‎66 06 58 05 62‎ ‎61 65 54 35 02‎ ‎42 35 48 96 32‎ ‎14 52 41 52 48‎ ‎92 66 22 15 86‎ ‎76 63 75 41 99‎ ‎58 42 36 72 24‎ 下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表 ‎（如右表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右 依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 A．23 B．21 ‎ C．35 D．32‎ ‎7．在空间中，a、b、c是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a，b，⊥，则a⊥b C．若a∥，b∥，∥，则a∥b D．若∥，a，则a∥‎ ‎8．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ‎ A．－ B．－ C． D． ‎9．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于 A． B． C． D．‎ ‎11．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数 的值为 A．4 B． C． D．‎ ‎12．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知函数为奇函数，若，则　　　．‎ ‎14．满足约束条件，则的最大值______．‎ ‎15．某四棱锥的三视图如图所示，‎ 则该四棱锥外接球的表面积 是_______.‎ ‎16．（本小题第一空2分，第二空3分）‎ 设数列满足a1=2,a2=6，，且an+2-2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，‎ ‎（1）求_______；（2）则___________.‎ 三、 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分)‎ ‎17．(12分)‎ 如图，在直三棱柱中，，‎ ‎，，点、分别为与 的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ β α β P1‎ P2‎ O P A(1,0)‎ x y ‎18．(12分)‎ 如图，考虑点A(1,0),‎ ‎,从这个图出发.‎ ‎（1）推导公式：‎ ‎（2）利用（1）的结果证明：‎ 并计算的值.‎ ‎19．(12分)‎ 习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”‎ 概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.‎ ‎（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且乙种鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立，扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？‎ ‎20．(12分)‎ 已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，‎ 函数g（x）＝f（x）＋－bx．‎ ‎ （1）求实数a的值；‎ ‎（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）－g（x2）的最小值．‎ ‎21．(12分)‎ 已知椭圆方程为．‎ ‎（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；‎ ‎（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知.‎ ‎（1）求使得的的取值集合；‎ ‎（2）求证：对任意实数，，当时，恒成立.‎ ‎（理科）参考答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A A A B B D B A B C D 二、填空题：‎ ‎13. 1； 14.2； 15.；16.（1）20，（2）2019‎ 三．解答题：‎ ‎17．【解析】（1）如图，连接、，‎ 因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点. ‎ 又因为为的中点，所以. ……4分 又平面，平面，所以平面； ……6分 ‎（2）以为原点，、、所在直线分别为 ‎、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，……7分 则、、、，‎ 所以，，，…8分 设平面的一个法向量为，‎ 则， 令，得， ……10分 记与平面所成角为，则. …12分 ‎18.…6分 ‎ （1）中的向量方法同样给分 ‎……12分 ‎19.【解析】（1）记随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， ……1分 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. ……3分 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.002‎ ‎0.044‎ ‎0.306‎ ‎0.648‎ ‎. ……6分 ‎（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9， ‎ 依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为， ……7分 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为元. ……9分 设购买尾乙种鱼苗，为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，‎ 则，解得. ……11分 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. ……12分 ‎20. 解：（Ⅰ）∵，∴， …………2分 又与直线垂直，∴，∴．……4分 ‎(Ⅱ) ，‎ 令，得 ，‎ ‎ ,……………6分 ‎ ‎ ‎, …8分 ‎， 所以设 ‎ ‎ ，所以在单调递减， ……10分 ， ，‎ ‎∴，‎ 故所求的最小值是．…………12分 ‎21．【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知，，设，‎ 由，…1分 同理，‎ 可得，…2分 ‎．…3分 结合，得，‎ 故；…5分 ‎（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，‎ 由对称性，不妨设，此时，‎ 故． ……6分 若直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由已知可得，则，‎ 设、，将直线与椭圆方程联立，‎ 得，‎ 由韦达定理得，． ……8分 结合及，‎ 可知．…10分 将根与系数的关系代入整理得：‎ ‎，‎ 结合，得．‎ 设，，‎ 则．‎ 的取值范围是． …12分 ‎22．【解析】（1）将直线的参数方程消去参数t并化简，得 直线的普通方程为. …2分 将曲线C的极坐标方程化为.‎ 即.∴x2+y2=2y+2x.‎ 故曲线C的直角坐标方程为. …5分 ‎（2）将直线的参数方程代入中，‎ 得.化简，得. …7分 ‎∵Δ>0，∴此方程的两根为直线与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.‎ 由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正. ‎ 由直线方程参数的几何意义知,‎ ‎ .…10分 ‎23.【解析】（1）由，即.‎ 而表示数轴上的对应点到1和2对应点的距离之和，…2分 而数轴上满足的点的坐标为和，‎ 故不等式的解集为. …5分 ‎（2）证明：要证，只需证，…6分 ‎∵，当且仅当时取等号，‎ ‎∴ …8分 由（1），当时，∴‎ ‎∴原命题成立. …10分