数学卷·2018届河北省冀州市中学高二上学期期中考试文数试题 （解析版） 18页

全*品*高*考*网， 用后离不了！河北冀州中学16-17学年上学期期中考试高二年级数学试题（文）‎ 一、选择题（本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则中的元素的个数为（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，则，共有个元素，故选B.‎ 考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集. ‎ ‎2.若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：函数的定义域. ‎ ‎3.已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（ ）‎ A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.‎ 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值. ‎ ‎4.函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性. ‎ ‎5.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：程序运行过程中，各变量值如下所示:第一次循环：，第二次循环：第三次循环：……以此类推，第 次循环：‎ 退出循环其中判断框内应填入的条件是:,故选C.‎ 考点：1、程序框图；2、循环结构. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎6.某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4‎ 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：‎ 月平均气温 ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量（件）‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温为，据此估 计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）‎ A．58件 B．40件 C．38件 D．46件 ‎【答案】D 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用. ‎ ‎7.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设与的夹角为，，又 ‎，即，解得，故选C.‎ 考点：1、向量的模与夹角；2、向量垂直的性质及平面向量数量积公式. ‎ ‎8.下列有关命题：①设，命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：‎ ‎，，的否定：，，；③‎ 设，为空间任意两条直线，则“”是“与没有公共点”的充要条件．其中正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎【答案】A 考点：1、特称命题与全称命题及不等式的性质；2、原命题与逆否命题的等价性及充要条件. ‎ ‎9.已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如 图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥，它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，外接球直径,表面积为，故选B.‎ 考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式. ‎ ‎10.“”是“函数与函数的图象重合”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当时，可得函数故图象重合，即充分性成立，当“函数与函数的图象重合”时，可取，即必要性不成立，因此“”是“函数与函数的图象重合”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：1、三角函数的诱导公式；2、充分条件与必要条件. ‎ ‎11.“”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：1、数列的增减性；2、充分条件与必要条件. ‎ ‎12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为1的正三角形，为 球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径为，点到面的距离是，又因为是圆的直径，所以到面的距离是，因此三棱锥的体积是，故选B.‎ 考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质. ‎ ‎13.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共98分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）‎ ‎14.直线（）的倾斜角范围是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、直线的方程；2、直线的倾斜角与斜率.‎ ‎15.如图，若由不等式（）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的 圆心在轴上，则实数 ．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：做出不等式组所表示的可行域如下图所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，由题意得，所以，解得，故选B. ‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎16.已知、是夹角为的两个单位向量，则与的夹角的正弦值 是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、平面向量数量积公式；2、向量的模与夹角.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查向量的模与夹角及平面向量数量积公式，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则；(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎17.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、点到直线的距离公式；2、根据几何性质求最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查点到直线的距离公式、根据几何性质求最值，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用直线的几何性质求得最值的.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量，‎ ‎，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，△的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平行向量的性质可得，再由正弦定理得，进而可得，；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得的值.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 考点：1、向量平行的性质；2、正弦定理和余弦定理.‎ ‎19.已知是各项均为正数的等比数列，且，‎ ‎．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据已知列出关于首项和公比的方程组，解出首项和公比的值即可求得的通项公式；（2）由（1）可知，分三组分别求和即可.‎ 考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、“分组求和”的应用.‎ ‎20.如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边，若使两个△所在的平面互相垂直，且 ‎，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由平面平面可证，再由已知，根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）根据“等积变换”可得点到平面的距离.‎ 试题解析：（1）证明：∵平面平面，，平面平面 ‎，‎ ‎∴平面，平面，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）设点到平面的距离，根据等积变换可得，，可得．‎ 考点：1、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理；2、棱锥的体积公式及“等积变换”的应用.‎ ‎21.设是关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若是从0,1,2,3四个数中任取一个数，是从0,1,2三个数中任取一个数，求方程有实根的概率；‎ ‎（2）若是从区间上任取一个数，是从区间上任取一个数，求方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：方程有实根的充要条件为：，即．‎ ‎（1）基本事件有12个，其中，，，，，，，，满足条件，则．‎ ‎（2）试验的全部结果构成的区域为，‎ 满足题意的区域为：，‎ 所以，所求概率为． ‎ 考点：1、古典概型概率公式；2、几何概型概率公式.‎ ‎22.已知命题：在时，不等式恒成立；命题：函数 是区间上的减函数．若命题“或”是真命题，求实数的取值范 围．‎ ‎【答案】.‎ 又∵函数是区间上的减函数，‎ ‎∴是上的增函数，且在上恒成立，‎ ‎∴，，∴，‎ 即若命题为真，则．‎ 综上知，若命题“或”是真命题，则．‎ 考点：1、不等式恒成立问题；2、对数函数的定义域及复合函数的单调性.‎ ‎23.在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在直线 上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ 试题解析：（1）由得圆心，‎ ‎∵圆的半径为1，‎ ‎∴圆的方程为：，‎ 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴或．‎ ‎∴所求圆的切线方程为或．‎ ‎（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，‎ 则圆的方程为．‎ 又∵，‎ ‎∴设为，则，整理得，设为圆．‎ 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 由，得．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.‎ ‎24.已知长方形中，，，为中点，将沿折起到△，‎ 所得四棱锥，如图所示．‎ ‎（1）若点为中点，求证：平面；‎ ‎（2）求的体积；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ 试题解析：（1）证明：取中点，连接，，‎ ‎∵在△中，点，分别是所在边的中点，所以，‎ 又，所以．‎ 所以是平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）∵平面平面，‎ 在△中，作于，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 在△中，计算可得，‎ ‎∴．‎ 考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎ ‎