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2019届二轮复习（理）第十二章第75讲　不等式选讲学案（江苏专用） 14页

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2019届二轮复习（理）第十二章第75讲　不等式选讲学案（江苏专用）

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第75讲　不等式选讲 考试要求　1.不等式的基本性质(B级要求)；2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(B级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求)；4.算术—几何平均不等式与柯西不等式(A级要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当10，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值.‎ 解　∵x>0，y>0，‎ ‎∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.‎ ‎∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立.‎ ‎∴＝4，即－λ≤4，λ≥－4.‎ 故λ的最小值为－4.‎ 知 识 梳 理 ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪‎ ‎(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.‎ ‎3.不等式证明的方法 ‎(1)比较法：‎ ‎①作差比较法：‎ 知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法.‎ ‎②作商比较法：‎ 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法.‎ ‎(2)综合法：‎ 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.‎ ‎(3)分析法：‎ 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.‎ ‎(4)反证法和放缩法：‎ ‎①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.‎ ‎②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.‎ ‎(5)数学归纳法：‎ 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：‎ ‎①证明当n＝n0时命题成立；‎ ‎②假设当n＝k (k∈N ，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.‎ 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.‎ ‎4.几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式：‎ ‎①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立).‎ ‎②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立.‎ ‎③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.‎ ‎④柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi (i＝1，2，…，n)为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n).‎ ‎(2)算术—几何平均不等式 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.‎ 考点一　绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值 ‎【例1－1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞).‎ 规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，‎ ‎＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.‎ ‎【例1－2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.‎ 解　(1)∵x，y∈R，‎ ‎∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，‎ 即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义.‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.‎ ‎(3)利用零点分区间法.‎ 考点二　绝对值不等式的综合应用 ‎【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，‎ 解得x>－1，所以－11时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以实数a的取值范围是[2，＋∞).‎ 考点三　证明不等式 ‎【例3－1】 若a，b∈R，求证：≤＋.‎ 证明　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立.‎ 当|a＋b|≠0时，‎ 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，‎ 所以＝ ‎≤＝ ‎＝＋≤＋.‎ 规律方法　(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：‎ ‎①变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N ，k>1；‎ ‎②利用函数的单调性；‎ ‎③真分数性质“若00，则<”.‎ ‎(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.‎ ‎【例3－2】 设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.‎ 求证：(1)a＋b＋c≥；‎ ‎(2)＋＋≥ (＋＋).‎ 证明　(1)要证a＋b＋c≥ ，‎ 由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).‎ 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得.‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎(2)＋＋＝.‎ 由于(1)中已证a＋b＋c≥.‎ 因此要证原不等式成立，只需证明≥ ＋＋.‎ 即证a＋b＋c≤1，‎ 即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ 而a＝≤，‎ b≤，c≤.‎ ‎∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca .‎ ‎∴原不等式成立.‎ 规律方法　当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.‎ ‎【训练2】 设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.‎ 证明　由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得 ≤<.‎ 当k＝1时，≤<；‎ 当k＝2时，≤<；‎ ‎…‎ 当k＝n时，≤<，‎ ‎∴＝≤＋＋…＋<＝1.‎ ‎∴原不等式成立.‎ 考点四　柯西不等式的应用 ‎【例4】 (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝3，求＋＋的最大值.‎ 解　由柯西不等式可得 ‎(＋＋)2≤[12＋12＋12][()2＋()2＋()2]＝3×12，‎ ‎∴＋＋≤6，当且仅当＝＝时取等号.‎ ‎∴＋＋的最大值是6.‎ 规律方法　(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.‎ ‎(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.‎ ‎【训练3】 已知大于1的正数x，y， 满足x＋y＋ ＝3.求证：＋＋≥.‎ 证明　由柯西不等式及题意得，‎ ‎·[(x＋2y＋3 )＋(y＋2 ＋3x)＋( ＋2x＋3y)]≥(x＋y＋ )2＝27.‎ 又(x＋2y＋3 )＋(y＋2 ＋3x)＋( ＋2x＋3y)＝6(x＋y＋ )＝18，‎ ‎∴＋＋≥＝，‎ 当且仅当x＝y＝ ＝时，等号成立. ‎ 一、必做题 ‎1.在实数范围内，求不等式 x－2|－1|≤1的解集.‎ 解　由 x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，‎ 解得0≤x≤4.‎ ‎∴不等式的解集为[0，4].‎ ‎2.(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)‎ ‎＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎3.(2014·江苏卷)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.‎ 证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，‎ ‎1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.‎ ‎4.(2018·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值.‎ 解　∵(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2]·‎ ≥‎ ＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号.‎ ‎∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.‎ ‎5.(一题多解)已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋.‎ 证明　法一　∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.‎ ‎∴＋＋＜＋＋.‎ 法二　∵＋≥2＝2；‎ ＋≥2＝2；＋≥2＝2.‎ ‎∴以上三式相加，得＋＋≥ ＋＋.‎ 又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋.‎ 法三　∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，‎ ‎∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋.‎ ‎∴＋＋＜＋＋.‎ ‎6.设x，y， ∈R，且满足：x2＋y2＋ 2＝1，x＋2y＋3 ＝，求x＋y＋ .‎ 解　由柯西不等式可得(x2＋y2＋ 2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3 )2，即(x＋2y＋3 )2≤14，因此x＋2y＋3 ≤.因为x＋2y＋3 ＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝， ＝，于是x＋y＋ ＝.‎ ‎7.(2017·南通二模) 设x，y， 均为正实数，且xy ＝1，求证：＋＋≥xy＋y ＋ x.‎ 证明　因为x，y， 均为正实数，且xy ＝1，‎ 所以＋xy≥＝2y ，＋y ≥＝2x ，＋x ≥＝2xy，当且仅当x＝y＝1时取等号.‎ 所以＋＋≥xy＋y ＋ x.‎ ‎8.(2018·苏州模拟)已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.‎ 解　由柯西不等式得 ‎(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，‎ ‎∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.‎ ‎∵2a＋2b＋c＝8，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，‎ 当且仅当＝＝c－3时等号成立，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.‎ 二、选做题 ‎9.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，则－<，‎ ‎∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|‎ ‎＝ 当x∈时，f(x)＝a＋1，‎ 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立.‎ ‎∴a＋1≤－＋3，即a≤，‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎10.(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范围是(1，＋∞).‎ ‎(2)由柯西不等式，得 ‎[42＋()2＋22]· ‎＝(x＋y＋ )2，‎ 即25×1≥(x＋y＋ )2.‎ ‎∴5≥|x＋y＋ |，‎ ‎∴－5≤x＋y＋ ≤5.‎ ‎∴x＋y＋ 的取值范围是[－5，5].‎

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