【数学】宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考试题（理）（解析版） 18页

宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考数学试题（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎2.已知，其中是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎3.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，.‎ 故选：D.‎ ‎4.已知向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得：，，‎ ‎，‎ 设与夹角为，则，‎ ‎，，即，‎ ‎，解得：且，‎ 即的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为，设羊主人赔偿粟，‎ 则，解得：；‎ 羊主人赔偿粟，牛主人赔偿粟，牛主人比羊主人多赔偿粟.‎ 故选：B.‎ ‎6.以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与的渐近线相切，则的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知双曲线的渐近线为，选取其中一条计算，即，‎ 由点到渐近线的距离得，‎ 故有，解得 ‎ 即离心率，‎ 故选：D.‎ ‎7.已知直线a、b，平面、，且，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，如果，则不成立；‎ 若，过做一平面，且，‎ 则.‎ 所以当时，是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎8.2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海､天津､广州､武汉､沈阳､济南､杭州､大连八个城市举行，我市将派9名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名记者，则不同的安排种数共有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将9名小记者分配到八个城市，每个城市至少安排一名记者 第一步：从9人中选出2人作为一组，选法有：，则现在有8个元素 第二步：将8个元素全排列，排法有：‎ 不同的安排种数：.‎ 故选：C.‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且的图像关于点对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得，‎ 因为的图象关于点对称，所以，，所以，‎ 因为，所以=.‎ 故选：D.‎ ‎10.已知数列的前n项和为，满足，且数列的前6项和等于321，则m的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，当时，，‎ 当，，‎ 若，则数列的前6项和等于，不合题意，‎ ‎，所以数列是以为首项，‎ 公比为的等比数列，，‎ 数列的前6项和为 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎11.已知直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】直线与抛物线相交于A，B两点，‎ 所以，将直线方程化为，‎ 联立，消去，得，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ 所以为钝角，故钝角三角形.‎ 故选：C.‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则和的图象所有交点横坐标之和等于（ ）‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵定义在上的偶函数满足，‎ ‎∴函数的图象关于直线和轴对称，‎ 而函数的图象也关于直线对称，‎ 当时，，‎ 先画出函数和在上的图象，再根据对称性得到上的图象如图，‎ 由图可知，函数和在上的图象共有2个交点，且关于直线对称，‎ ‎∴函数和的图象所有交点横坐标之和为，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号（）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 盈利店铺的个数（y）‎ ‎260‎ ‎240‎ ‎215‎ ‎200‎ ‎180‎ 根据所给数据，得出y关于t的回归方程，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ 由，则，得，故，‎ 令，得.‎ 故答案为：‎ ‎14.的展开式中，含项的系数为________（用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项公式: ,‎ 要求含项的系数,‎ 令,解得.‎ 的展开式中项的系数为：‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎15.已知函数，且，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎16.如图，在边长等于2正方形中，点Q是中点，点M,N分别在线段上移动（M不与A,B重合，N不与C,D重合），且，沿着将四边形 折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥体积的最大值为________；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】（1）如图，‎ 因为二面角为直二面角，平面平面,‎ 所以平面,‎ 所以是三棱锥的高.‎ 设，‎ 所以三棱锥体积，‎ 所以当时，‎ ‎（2）如图，把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球. 点为外接球的球心，为外接球的半径.‎ 由题得,,‎ 底面等腰直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，即.‎ 所以.‎ 所以外接球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.已知在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若点M为边边上一点，且，求的面积．‎ 解：（1）由有 由正弦定理有 在中, ,所以 在中, ,则，所以,则有 所以即 ‎（2）在中，,则 则为等腰直角三角形， 又，即,所以 在直角中, ,,‎ 所以,所以 所以.‎ ‎18.已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）证明：因平面平面，，‎ 平面平面， 在平面内，‎ 所以平面，‎ 因为 在平面内，所以；‎ ‎（2）解：因为，，‎ 所以，所以，所以,‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以平面,所以,‎ 因为， ，所以,‎ 所以,,‎ 所以，‎ 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设，则 因为为棱上一动点在上，所以设，‎ 所以，解得，‎ 所以，,‎ 设平面的法向量为，则,‎ 所以 得，令，则，‎ 所以 设平面的法向量为，则 所以，‎ 令，则，得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以当点E在的中点时，二面角的余弦值为 ‎19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：‎ 甲 乙 ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？‎ ‎（2）为了综合评估本地电商的销售情况，从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据，其中销售额不低于120万元的天数分别记为，令，求随机变量Y的分布列和数学期望．‎ 解：（1）设甲、乙电商连续十天的销售额的平均数分别为，方差分别为 ‎(万元)‎ ‎(万元)‎ 由，所以甲电商对这种产品的销售谁更稳定.‎ ‎(2)由题意的所有可能取值为0,1,2，的所有可能取值为0,1,2，‎ 由，所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，4‎ 其中甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天.‎ 乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天.‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ ‎.‎ 则随机变量Y的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量Y的数学期望为 ‎20.已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．‎ ‎（1）解：由题意，设，，直线的方程为，‎ 由，即，‎ 将点代入中，得，故，‎ 又点在椭圆上，解得，‎ 因椭圆的离心率，故，，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：由题意，设直线的方程为，设，，‎ 联立，消去得，‎ 所以，，‎ 当直线不过时，直线的斜率，直线的斜率，‎ 所以，‎ 即直线与直线垂直，故为定值.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数零点的个数；‎ ‎（2）若函数存在两个零点，证明：．‎ 解：(1)有题意得 由得，得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 时，取得极大值，也是最大值为，‎ 所以当，即时，函数无零点.‎ 当，即时，函数有1个零点.‎ 当，即时，‎ ‎，设，‎ 在恒成立，‎ 在单调递减，，‎ 所以，在，各有一个零点，‎ 函数有2个零点.‎ 综上所述：时，函数无零点.‎ 时，函数有1个零点.‎ 时，函数有2个零点.‎ ‎（2）由（1），即时，‎ 有两个零点，（），则，，‎ 由，得，‎ 令，则，，，‎ ‎，显然成立，‎ 要证，即证，‎ 只要证，即证，（），‎ 令，，‎ ‎，，‎ 令，则，，令，‎ ‎，，‎ 令，‎ ‎，时，是减函数，‎ 所以时，，‎ 所以是减函数，，即（），‎ 所以是减函数，，‎ 所以，在时是减函数，‎ ‎，即，‎ 所以在上是减函数，，‎ 所以，即，‎ 综上，成立．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆C截得弦的长．‎ 解：（1）（为参数），，‎ 圆C普通方程；‎ ‎，‎ 又代入上式得：.‎ 直线l的直角坐标方程.‎ ‎（2）圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为，‎ ‎，‎ 弦长.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)若，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的值范围．‎ 解：(1)由题，；当时，，解得；‎ 当时，恒成立，解得；‎ 当时，，解得.综上有.‎ 故实数x的取值范围为 ‎(2)因为，当时，；‎ 当时，；当时，.‎ 故的最小值为.‎ 故，即，解得.‎ 故实数a的值范围为.‎