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- 2021-06-11 发布
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选修2-2 2. 3 数学归纳法
一、选择题
1.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式( )
A.1+<2
B.1++<2
C.1++<3
D.1+++<3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*,n>1,∴n取第一个自然数为2,左端分母最大的项为=,故选B.
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )
A.1
B.1+a+a2
C.1+a
D.1+a+a2+a3
[答案] B
[解析] 因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选B.
3.设f(n)=++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.
C.+ D.-
[答案] D
[解析] f(n+1)-f(n)
=
-=+-
=-.
4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立
D.当n=4时该命题成立
[答案] C
[解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选C.
5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步的证明时,正确的证法是( )
A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1时命题也成立
B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题也成立
C.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题也成立
D.假设n=2k+1(k∈N),证明n=k+1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数,当n=k时,k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.
6.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1
B.f(n)+n
C.f(n)+n-1
D.f(n)+n-2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.
7.用数学归纳法证明“对一切n∈N*,都有2n>n2-2”这一命题,证明过程中应验证( )
A.n=1时命题成立
B.n=1,n=2时命题成立
C.n=3时命题成立
D.n=1,n=2,n=3时命题成立
[答案] D
[解析] 假设n=k时不等式成立,即2k>k2-2,
当n=k+1时2k+1=2·2k>2(k2-2)
由2(k2-2)≥(k-1)2-4⇔k2-2k-3≥0
⇔(k+1)(k-3)≥0⇒k≥3,因此需要验证n=1,2,3时命题成立.故应选D.
8.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )
A.30
B.26
C.36
D.6
[答案] C
[解析] 因为f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,推测最大的m值为36.
9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2、a3、a4,猜想an=( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由Sn=n2an知Sn+1=(n+1)2an+1
∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an
∴an+1=(n+1)2an+1-n2an
∴an+1=an (n≥2).
当n=2时,S2=4a2,又S2=a1+a2,∴a2==
a3=a2=,a4=a3=.
由a1=1,a2=,a3=,a4=
猜想an=,故选B.
10.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:
(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即(n≥2).
[证明] ①当n=2时,左=>0=右,
∴不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立.
即++…+>成立.
那么n=k+1时,++…+
++…+
>++…+>+++…+
=+=,
∴当n=k+1时,不等式成立.
据①②可知,不等式对一切n∈N*且n≥2时成立.
17.在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同一点.
求证:这n条直线将它们所在的平面分成个区域.
[证明] (1)n=2时,两条直线相交把平面分成4个区域,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时,k条直线将平面分成块不同的区域,命题成立.
当n=k+1时,设其中的一条直线为l,其余k条直线将平面分成块区域,直线l与其余k条直线相交,得到k个不同的交点,这k个点将l分成k+1段,每段都将它所在的区域分成两部分,故新增区域k+1块.
从而k+1条直线将平面分成+k+1=块区域.
所以n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,原命题成立.
18.(2010·衡水高二检测)试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①此题选用特殊值来找到2n+2与n2的大小关系;
②利用数学归纳法证明猜想的结论.
解答本题的关键是先利用特殊值猜想.
[解析] 当n=1时,21+2=4>n2=1,
当n=2时,22+2=6>n2=4,
当n=3时,23+2=10>n2=9,
当n=4时,24+2=18>n2=16,
由此可以猜想,
2n+2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,
左边=21+2=4,右边=1,
所以左边>右边,
所以原不等式成立.
当n=2时,左边=22+2=6,
右边=22=4,所以左边>右边;
当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,
所以左边>右边.
(2)假设n=k时(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,
即2k+2>k2.那么n=k+1时,
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.
又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3
=(k-3)(k+1)≥0,
即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.
根据(1)和(2),原不等式对于任何n∈N*都成立.