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  • 2021-06-11 发布

高中数学 2_3 数学归纳法同步练习 新人教A版选修2-2

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选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 ‎1.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式(  )‎ A.1+<2      ‎ B.1++<2‎ C.1++<3 ‎ D.1+++<3‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵n∈N*,n>1,∴n取第一个自然数为2,左端分母最大的项为=,故选B.‎ ‎2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为(  )‎ A.1 ‎ B.1+a+a2‎ C.1+a ‎ D.1+a+a2+a3‎ ‎[答案] B ‎[解析] 因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选B.‎ ‎3.设f(n)=++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于(  )‎ A. B. C.+ D.- ‎[答案] D ‎[解析] f(n+1)-f(n)‎ ‎= ‎-=+- ‎=-.‎ ‎4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得(  )‎ A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立 ‎[答案] C ‎[解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选C.‎ ‎5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步的证明时,正确的证法是(  )‎ A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1时命题也成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题也成立 C.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题也成立 D.假设n=2k+1(k∈N),证明n=k+1时命题也成立 ‎[答案] C ‎[解析] ∵n为正奇数,当n=k时,k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.‎ ‎6.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为(  )‎ A.f(n)+n+1 ‎ B.f(n)+n C.f(n)+n-1 ‎ D.f(n)+n-2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.‎ ‎7.用数学归纳法证明“对一切n∈N*,都有2n>n2-‎2”‎这一命题,证明过程中应验证(  )‎ A.n=1时命题成立 B.n=1,n=2时命题成立 C.n=3时命题成立 D.n=1,n=2,n=3时命题成立 ‎[答案] D ‎[解析] 假设n=k时不等式成立,即2k>k2-2,‎ 当n=k+1时2k+1=2·2k>2(k2-2)‎ 由2(k2-2)≥(k-1)2-4⇔k2-2k-3≥0‎ ‎⇔(k+1)(k-3)≥0⇒k≥3,因此需要验证n=1,2,3时命题成立.故应选D.‎ ‎8.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(  )‎ A.30 ‎ B.26‎ C.36 ‎ D.6‎ ‎[答案] C ‎[解析] 因为f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,推测最大的m值为36.‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2、a3、a4,猜想an=(  )‎ A. ‎ B. C. ‎ D. ‎[答案] B ‎[解析] 由Sn=n2an知Sn+1=(n+1)2an+1‎ ‎∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ‎∴an+1=(n+1)2an+1-n2an ‎∴an+1=an (n≥2).‎ 当n=2时,S2=‎4a2,又S2=a1+a2,∴a2== a3=a2=,a4=a3=.‎ 由a1=1,a2=,a3=,a4= 猜想an=,故选B.‎ ‎10.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:‎ ‎(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.‎ ‎(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即(n≥2).‎ ‎[证明] ①当n=2时,左=>0=右,‎ ‎∴不等式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立.‎ 即++…+>成立.‎ 那么n=k+1时,++…+ ‎++…+ ‎>++…+>+++…+ ‎=+=,‎ ‎∴当n=k+1时,不等式成立.‎ 据①②可知,不等式对一切n∈N*且n≥2时成立.‎ ‎17.在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同一点.‎ 求证:这n条直线将它们所在的平面分成个区域.‎ ‎[证明] (1)n=2时,两条直线相交把平面分成4个区域,命题成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时,k条直线将平面分成块不同的区域,命题成立.‎ 当n=k+1时,设其中的一条直线为l,其余k条直线将平面分成块区域,直线l与其余k条直线相交,得到k个不同的交点,这k个点将l分成k+1段,每段都将它所在的区域分成两部分,故新增区域k+1块.‎ 从而k+1条直线将平面分成+k+1=块区域.‎ 所以n=k+1时命题也成立.‎ 由(1)(2)可知,原命题成立.‎ ‎18.(2010·衡水高二检测)试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎[分析] 由题目可获取以下主要信息:‎ ‎①此题选用特殊值来找到2n+2与n2的大小关系;‎ ‎②利用数学归纳法证明猜想的结论.‎ 解答本题的关键是先利用特殊值猜想.‎ ‎[解析] 当n=1时,21+2=4>n2=1,‎ 当n=2时,22+2=6>n2=4,‎ 当n=3时,23+2=10>n2=9,‎ 当n=4时,24+2=18>n2=16,‎ 由此可以猜想,‎ ‎2n+2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=1时,‎ 左边=21+2=4,右边=1,‎ 所以左边>右边,‎ 所以原不等式成立.‎ 当n=2时,左边=22+2=6,‎ 右边=22=4,所以左边>右边;‎ 当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,‎ 所以左边>右边.‎ ‎(2)假设n=k时(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,‎ 即2k+2>k2.那么n=k+1时,‎ ‎2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.‎ 又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3‎ ‎=(k-3)(k+1)≥0,‎ 即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.‎ 根据(1)和(2),原不等式对于任何n∈N*都成立.‎ ‎ ‎

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