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  • 2021-06-11 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第四章 8 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

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‎[基础题组练]‎ ‎1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10°        B.北偏西10°‎ C.南偏东80° D.南偏西80°‎ 解析:选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,AB的距离是84 m,则塔高CD为  (  )‎ A.24 m B.12 m C.12 m D.36 m 解析:选C.设塔高CD=x m,则AD=x m,DB=x m.在△ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2x2cos 150°,解得x=±12(负值舍去),故塔高为12 m.‎ ‎3.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度为(  )‎ A.海里/小时 B.34海里/小时 C.海里/小时 D.34海里/小时 解析:选C.如图所示,在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,∠PMN=15°,∠MPN=120°,‎ 由正弦定理,得=,所以MN=34,‎ 所以该船的航行速度为海里/小时.‎ ‎4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ 解析:选B.依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),‎ 所以在△ACD中,由余弦定理得 cos∠CAD= ‎= ‎==,‎ 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5.(2020·杭州调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300 km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为(  )‎ A.9 h B.10 h C.11 h D.12 h 解析:选B.记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置,在△OAB中,OA=400,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得4002+400t2-2×20t×400×≤3002,即t2-20t+175≤0,解得10-5≤t≤10+5,所以所求时间为10+5-10+5=10(h),故选B.‎ ‎6.(2020·绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当△ABC面积最大时,腰AB长为(  )‎ A.6 B.6 C.4 D.4 解析:选D.如图所示,设D为AC的中点,‎ 由余弦定理得cos A==,‎ 在△ABD中,BD2=b2+-2×b××,‎ 可得2a2+b2=144,‎ 设BC边上的高为h,所以S=ah=a =a= ‎= ,‎ 所以,当a2=32时,S有最大值,此时,b2=144-2a2=80,解得b=4,即腰长AB=4.故选D.‎ ‎7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为________km.‎ 解析:由余弦定理得82+52-2×8×5×cos(π-∠D)=AC2=32+52-2×3×5×cos ∠D,解得cos ∠D=-,所以AC==7.‎ 答案:7‎ ‎8.(2020·嘉兴高三模拟)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ=.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为________海里/小时.‎ 解析:因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,cos(45°-θ)=×+×=,在△ABC中,BC2=800+100-2×20×10×=340,所以BC=2,所以该货船的船速为4海里/小时.‎ 答案:4 ‎9.在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________.‎ 解析:设塔高为h m.依题意得,tan α=,tan β=,tan γ=.因为α+β+γ=90°,所以tan(α+β)tan γ=tan(90°-γ)tan γ===1,所以·tan γ=1,所以·=1,解得h=80,所以塔高为80 m.‎ 答案:80 m ‎10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m.‎ 解析:根据题图,AC=100 m.‎ 在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.‎ 由正弦定理得=⇒AM=100 m.‎ 在△AMN中,=sin 60°,‎ 所以MN=100×=150(m).‎ 答案:150‎ ‎11.(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,成等差数列.‎ ‎(1)求角A的值;‎ ‎(2)若a=,b+c=5,求△ABC的面积.‎ 解:(1)因为,,成等差数列,‎ 所以=+,‎ 整理可得=,‎ 所以sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,‎ 即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,‎ 解得cos A=,所以A=.‎ ‎(2)因为a=,b+c=5,‎ 所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得bc=5,‎ 所以S△ABC=bcsin A=×5×=.‎ ‎12.如图,平面四边形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.‎ ‎(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的长;‎ ‎(2)若BC=10,求AC+AB的取值范围.‎ 解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,‎ 在△ABC中,=⇒BC=5.‎ 因为AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,‎ 在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,‎ 所以DB=AB=10.‎ 在△BCD中,CD==5.‎ ‎(2)AC+AB>BC=10,‎ cos 60°=⇒(AB+AC)2-100=3AB·AC,‎ 而AB·AC≤,‎ 所以≤,‎ 解得AB+AC≤20,‎ 故AB+AC的取值范围为(10,20].‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要的时间为(  )‎ A.1小时 B.2小时 C.(1+)小时 D.小时 解析:选A.由题意知AB=5(3+)海里,‎ ‎∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,‎ 所以∠ADB=105°,‎ 在△DAB中,由正弦定理得=,‎ 所以DB== ‎=10(海里),‎ 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,‎ BC=20海里,‎ 在△DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos ∠DBC ‎=300+1 200-2×10×20×=900,‎ 所以CD=30(海里),则需要的时间t==1(小时).‎ ‎2.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径的长度为(  )‎ A.50 米 B.50 米 C.50米 D.50 米 解析:选B.设该扇形的半径为r米,连接CO.‎ 由题意,得CD=150(米),OD=100(米),∠CDO=60°,‎ 在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,‎ 即1502+1002-2×150×100×=r2,‎ 解得r=50 .‎ ‎3.(2020·瑞安四校联考)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acos B-bcos A=c,当tan(A-B)取最大值时,角B的值为________.‎ 解析:由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B)=(sin Acos B+cos Asin B),整理得sin Acos B=3cos Asin B,即tan A=3tan B,易得tan A>0,tan B>0,所以tan(A-B)===≤=,当且仅当=3tan B,即tan B=时,tan(A-B)取得最大值,所以B=.‎ 答案: ‎4.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为________.‎ 解析:在△ABD中,设BD=x,则 BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,‎ 即142=x2+102-2·10x·cos 60°,‎ 整理得x2-10x-96=0,‎ 解得x1=16,x2=-6(舍去).‎ 在△BCD中,由正弦定理:=,‎ 所以BC=·sin 30°=8.‎ 答案:8 ‎5.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)‎ ‎(1)求A,C两地的距离;‎ ‎(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.‎ 解:(1)设BC=x,由条件可知 AC=x+×340=x+40,‎ 在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos ∠BAC,‎ 即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,‎ 所以AC=380+40=420米,‎ 故A,C两地的距离为420米.‎ ‎(2)在△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,∠AHC=90°-30°=60°,‎ 由正弦定理,可得=,即=,‎ 所以HC==140,故这种仪器的垂直弹射高度为140米.‎ ‎6.某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6 km处,B位于O的北偏东60°方向10 km处.‎ ‎(1)求集镇A,B间的距离;‎ ‎(2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3 km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短.‎ 解:(1)在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°,‎ 根据余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos 120°‎ ‎=62+102-2×6×10×=196,‎ 所以AB=14.‎ 故集镇A,B间的距离为14 km.‎ ‎(2)依题意得,直线MN必与圆O相切.‎ 设切点为C,连接OC(图略),则OC⊥MN.‎ 设OM=x,ON=y,MN=c,‎ 在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin 120°,‎ 得×3c=xysin 120°,即xy=2c,‎ 由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy≥3xy,所以c2≥6c,解得c≥6,‎ 当且仅当x=y=6时,c取得最小值6.‎ 所以码头M,N与集镇O的距离均为6 km时,M,N之间的直线航线最短,最短距离为6 km.‎

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