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- 2021-06-11 发布
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[基础题组练]
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析:选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,AB的距离是84 m,则塔高CD为 ( )
A.24 m B.12 m
C.12 m D.36 m
解析:选C.设塔高CD=x m,则AD=x m,DB=x m.在△ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2x2cos 150°,解得x=±12(负值舍去),故塔高为12 m.
3.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度为( )
A.海里/小时 B.34海里/小时
C.海里/小时 D.34海里/小时
解析:选C.如图所示,在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,∠PMN=15°,∠MPN=120°,
由正弦定理,得=,所以MN=34,
所以该船的航行速度为海里/小时.
4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
解析:选B.依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),
所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
=
==,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
5.(2020·杭州调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300 km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为( )
A.9 h B.10 h
C.11 h D.12 h
解析:选B.记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置,在△OAB中,OA=400,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得4002+400t2-2×20t×400×≤3002,即t2-20t+175≤0,解得10-5≤t≤10+5,所以所求时间为10+5-10+5=10(h),故选B.
6.(2020·绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当△ABC面积最大时,腰AB长为( )
A.6 B.6
C.4 D.4
解析:选D.如图所示,设D为AC的中点,
由余弦定理得cos A==,
在△ABD中,BD2=b2+-2×b××,
可得2a2+b2=144,
设BC边上的高为h,所以S=ah=a =a=
= ,
所以,当a2=32时,S有最大值,此时,b2=144-2a2=80,解得b=4,即腰长AB=4.故选D.
7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为________km.
解析:由余弦定理得82+52-2×8×5×cos(π-∠D)=AC2=32+52-2×3×5×cos ∠D,解得cos ∠D=-,所以AC==7.
答案:7
8.(2020·嘉兴高三模拟)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ=.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为________海里/小时.
解析:因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,cos(45°-θ)=×+×=,在△ABC中,BC2=800+100-2×20×10×=340,所以BC=2,所以该货船的船速为4海里/小时.
答案:4
9.在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________.
解析:设塔高为h m.依题意得,tan α=,tan β=,tan γ=.因为α+β+γ=90°,所以tan(α+β)tan γ=tan(90°-γ)tan γ===1,所以·tan γ=1,所以·=1,解得h=80,所以塔高为80 m.
答案:80 m
10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m.
解析:根据题图,AC=100 m.
在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得=⇒AM=100 m.
在△AMN中,=sin 60°,
所以MN=100×=150(m).
答案:150
11.(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,成等差数列.
(1)求角A的值;
(2)若a=,b+c=5,求△ABC的面积.
解:(1)因为,,成等差数列,
所以=+,
整理可得=,
所以sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,
即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,
解得cos A=,所以A=.
(2)因为a=,b+c=5,
所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得bc=5,
所以S△ABC=bcsin A=×5×=.
12.如图,平面四边形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.
(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的长;
(2)若BC=10,求AC+AB的取值范围.
解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,
在△ABC中,=⇒BC=5.
因为AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,
在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,
所以DB=AB=10.
在△BCD中,CD==5.
(2)AC+AB>BC=10,
cos 60°=⇒(AB+AC)2-100=3AB·AC,
而AB·AC≤,
所以≤,
解得AB+AC≤20,
故AB+AC的取值范围为(10,20].
[综合题组练]
1.A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要的时间为( )
A.1小时 B.2小时
C.(1+)小时 D.小时
解析:选A.由题意知AB=5(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,
所以∠ADB=105°,
在△DAB中,由正弦定理得=,
所以DB==
=10(海里),
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,
BC=20海里,
在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos ∠DBC
=300+1 200-2×10×20×=900,
所以CD=30(海里),则需要的时间t==1(小时).
2.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径的长度为( )
A.50 米 B.50 米
C.50米 D.50 米
解析:选B.设该扇形的半径为r米,连接CO.
由题意,得CD=150(米),OD=100(米),∠CDO=60°,
在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,
解得r=50 .
3.(2020·瑞安四校联考)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acos B-bcos A=c,当tan(A-B)取最大值时,角B的值为________.
解析:由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B)=(sin Acos B+cos Asin B),整理得sin Acos B=3cos Asin B,即tan A=3tan B,易得tan A>0,tan B>0,所以tan(A-B)===≤=,当且仅当=3tan B,即tan B=时,tan(A-B)取得最大值,所以B=.
答案:
4.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为________.
解析:在△ABD中,设BD=x,则
BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,
即142=x2+102-2·10x·cos 60°,
整理得x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理:=,
所以BC=·sin 30°=8.
答案:8
5.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)
(1)求A,C两地的距离;
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.
解:(1)设BC=x,由条件可知
AC=x+×340=x+40,
在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos ∠BAC,
即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,
所以AC=380+40=420米,
故A,C两地的距离为420米.
(2)在△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,∠AHC=90°-30°=60°,
由正弦定理,可得=,即=,
所以HC==140,故这种仪器的垂直弹射高度为140米.
6.某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6 km处,B位于O的北偏东60°方向10 km处.
(1)求集镇A,B间的距离;
(2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3 km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短.
解:(1)在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°,
根据余弦定理得
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos 120°
=62+102-2×6×10×=196,
所以AB=14.
故集镇A,B间的距离为14 km.
(2)依题意得,直线MN必与圆O相切.
设切点为C,连接OC(图略),则OC⊥MN.
设OM=x,ON=y,MN=c,
在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin 120°,
得×3c=xysin 120°,即xy=2c,
由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy≥3xy,所以c2≥6c,解得c≥6,
当且仅当x=y=6时,c取得最小值6.
所以码头M,N与集镇O的距离均为6 km时,M,N之间的直线航线最短,最短距离为6 km.