数学文·吉林省吉大附中2017届高三上学期9月月考数学试卷（文科）+Word版含解析 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年吉林省吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共60分，每小题5分）‎ ‎1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁UN）=（　　）‎ A．{1} B．{1，2，3，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ A．f（x）=0 B．f（x）=2x+ C．f（x）=sinx+x D．f（x）=lg|x|+x ‎3．设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）‎ A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 ‎5．下列命题，正确的是（　　）‎ A．命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”‎ B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C．命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是真命题 D．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”‎ ‎6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎8．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（　　）‎ A．f（x）=ex﹣1 B．f（x）=ln（x+1） C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）‎ A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC1 D．MN∥平面ABCD ‎11．已知函数f（x）=x2+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件 ‎12．已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：‎ ‎①函数f（x）=不可能是k型函数；‎ ‎②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；‎ ‎③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；‎ ‎④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．‎ 下列选项正确的是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．函数f（x）=的定义域为　　．‎ ‎14．若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）﹣f（ln）＜2f（1），则t的取值范围是　　．‎ ‎15．三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是　　．‎ ‎16．若函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，则m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；‎ 命题q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=﹣4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求 函数f（x）闭区间[﹣2，m]上的最小值．‎ ‎19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=‎ ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；‎ ‎（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．‎ ‎20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．‎ ‎（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是⊙O的割线，AC=AB ‎（1）证明：AC2=AD•AE；‎ ‎（2）证明：FG∥AC．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．‎ ‎（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；‎ ‎（Ⅱ）当φ=时，求三角形△OBC的面积．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（Ⅰ） 求证：；‎ ‎（Ⅱ） 若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省吉大附中高三（上）9月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共60分，每小题5分）‎ ‎1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁UN）=（　　）‎ A．{1} B．{1，2，3，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．‎ ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，‎ ‎∴∁UN={1，4}，‎ ‎∴M∪（∁UN）={1，2，4，5}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ A．f（x）=0 B．f（x）=2x+ C．f（x）=sinx+x D．f（x）=lg|x|+x ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据基本函数的性质逐项判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，既是奇函数，也是偶函数，排除A；‎ 对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除B；‎ 对于C，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除C；‎ 对于D，不满足f（﹣x）=﹣f（x），也不满足f（﹣x）=f（x），既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由已知得f（1）=，f（f（1））=f（）=，由此能求出b．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（1））=1，‎ ‎∴f（1）=，‎ f（f（1））=f（）=，‎ 解得b=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升）‎ 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）‎ A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 ‎【考点】一次函数的性质与图象．‎ ‎【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．‎ ‎【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题，正确的是（　　）‎ A．命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”‎ B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C．命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是真命题 D．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出特称命题的否定判断A；举例说明B错误；写出命题的逆否命题并判断真假说明C错误；写出命题的否命题判断D．‎ ‎【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1≥0”，故A错误；‎ 菱形的四边相等，只有一个内角为90°时为正方形，∴存在四边相等的四边形不是正方形为真命题，故B错误；‎ 命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是“若x≠y，则x2≠y2”，该命题是假命题，如2≠﹣2，但22=（﹣2）2，故C错误；‎ 命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”，故D正确．‎ ‎∴正确的命题是：D．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；‎ 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；‎ 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；‎ 对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可判断直观图为：‎ OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，‎ EA=2，EC=EB=1，OA=1，‎ ‎∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，‎ 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ ‎∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．‎ S△BCO=2×=．‎ 故该三棱锥的表面积是2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据新定义可得f（x）=|x|sgnx==x，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=|x|sgnx==x，‎ 故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（　　）‎ A．f（x）=ex﹣1 B．f（x）=ln（x+1） C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．‎ ‎【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，‎ 分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）‎ A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC1 D．MN∥平面ABCD ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图：连接C1D，BD，‎ ‎∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，A错误 ‎∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；‎ ‎∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故C正确；‎ 在三角形C1DB中，MN∥BD，故MN∥平面ABCD，D正确．‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x2+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：若f（a）=f（b）则a2+a2+b=b2+ab+b，‎ 即2a2﹣ab﹣b2=0，‎ 则（a﹣b）（2a+b）=0，‎ ‎∵a≠b，‎ ‎∴2a+b=0，即b=﹣2a，此时f（2）=4+2a+b=4，即必要性成立，‎ 若f（2）=4=4+2a+b，则2a+b=0，b=﹣2a，‎ 则f（x）=x2+ax+b=x2+ax﹣2a，‎ 则f（a）=a2+a2+b=2a2﹣2a，‎ f（b）=b2+ab+b=（﹣2a）2+a（﹣2a）﹣2a=2a2﹣2a，‎ 则f（a）=f（b），即充分性成立，‎ 即f（2）=4是f（a）=f（b）的充要条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：‎ ‎①函数f（x）=不可能是k型函数；‎ ‎②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；‎ ‎③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；‎ ‎④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．‎ 下列选项正确的是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．‎ ‎【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，假设f（x）是k型函数，则方程=kx有相异两实根，‎ 即kx2﹣3x+1=0（k≠0）有相异两实根，∴△=32﹣4k＞0，得k．‎ ‎∴假设成立，函数f（x）=是k型函数，故①错误；‎ 对于②，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，故②正确；‎ 对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，‎ ‎∴，解得0＜k＜1，故③错误；‎ 对于④，y=（a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，‎ ‎∴方程的两根之差x1﹣x2====≤，即n﹣m的最大值为，故④正确．‎ 综上，正确的命题是②④．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．函数f（x）=的定义域为　[1，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ ‎4x﹣2x+1≥0，解得x≥1，‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）﹣f（ln）＜2f（1），则t的取值范围是　（0，e）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是奇函数得到不等式f（lnt）＜f（1）即lnt＜（1），解得即可．‎ ‎【解答】解：∵对∀x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立，‎ ‎∴f（x）在[0，+∞）为增函数，‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（x）在R上为增函数，‎ ‎∴f（lnt）﹣f（ln）=f（lnt）﹣f（﹣lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），‎ ‎∴不等式等价为2f（lnt）＜2f（1），‎ 即f（lnt）＜f（1）．‎ ‎∴lnt＜1，‎ 解得0＜t＜e，‎ 即实数t的取值范围是（0，e）‎ 故答案为：（0，e）‎ ‎　‎ ‎15．三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是　36π　．‎ ‎【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】证明S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，即可求出三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，三条侧棱SA=SB=SC=2，底面三边AB=BC=CA=2，∴SA，SB，SC互相垂直，‎ ‎∴S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，‎ ‎∴三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，‎ ‎∴三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=36π．‎ 故答案为：36π ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，则m的取值范围是　1或4或m≤0　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】令f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m=0，可得m=（x≠1），构造函数g（x）=，确定函数的单调性，利用函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：令f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m=0，‎ 可得m=（x≠1），‎ 构造函数g（x）=，‎ g′（x）=，‎ ‎∴函数g（x）在（﹣∞，0），（1.5，+∞）上单调递增，在（0，1），（1，1.5）上单调递减，‎ ‎∵g（0）=1，g（1.5）=4，函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，‎ ‎∴m=1或4或m≤0，‎ 故答案为1或4或m≤0．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知命题p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；‎ 命题q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出命题p、q为真命题时m的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题时p、q一真一假，从而求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题p：“方程x2+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”为真命题时，‎ ‎，即，解得m＞2；‎ 命题q：“不等式3x﹣m+1≤0存在实数解”为真命题时，‎ ‎3x≤m﹣1，即m﹣1＞0，解得m＞1；‎ 若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，‎ 当p真q假时，，m的值不存在；‎ 当p假q真时， 1＜m≤2；‎ 综上，实数m的取值范围是（1，2]．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=﹣4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求 函数f（x）闭区间[﹣2，m]上的最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）通过讨论m的范围，求出函的单调区间，从而求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣4，‎ 令f′（x）=0，得x1=﹣2，x2=2，‎ 当f′（x）＞0时，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）单调递增，‎ 当f′（x）＜0时，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，‎ 当x=﹣2时，函数有极大值，且f（﹣2）=，‎ 当x=2时，函数有极小值，且f（2）=﹣；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 若﹣2＜m≤2，则f（x）在（﹣2，m]递减，‎ f（x）min=f（m）=m3﹣4m+4，‎ 若m＞2，则f（x）在（﹣2，2）递减，在（2，m]递增，‎ f（x）min=f（2）=﹣8+4=﹣．‎ ‎　‎ ‎19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=‎ ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；‎ ‎（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；‎ ‎（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得 当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=‎ ‎∴W=；‎ ‎（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，Wmax=W（32）=6104；‎ 当x＞40时，W=≤﹣2+7360，‎ 当且仅当，即x=50时，Wmax=W（50）=5760‎ ‎∵6104＞5760‎ ‎∴x=32时，W的最大值为6104万美元．‎ ‎　‎ ‎20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；‎ ‎（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A1B1C1DBA的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，‎ 而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，‎ ‎∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60°，‎ ‎∴△A1C1B为等边三角形，‎ ‎∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，‎ ‎∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，‎ ‎∴A1C1=BC1=A1B=2，‎ ‎∴B1C1=2，‎ ‎∴A1C12=B1C12+A1B12，‎ ‎∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1，‎ ‎∴A1B1⊥平面B1C1CB，‎ ‎∵DE∥AB∥A1B1，‎ ‎∴DE⊥平面B1C1CB，‎ ‎∴DE是三棱锥D﹣BCC1的高，‎ ‎∴==，‎ ‎∴多面体A1B1C1DBA的体积V=﹣=（）×2﹣=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．‎ ‎（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；‎ ‎（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别求解即可．‎ ‎（2）通过求h′（x），结合函数h（x）在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围．‎ ‎（3）要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，即＞，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=lnx得f′（x）=，‎ 函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y﹣0=x﹣1即y=x﹣1．‎ 由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x﹣1代入得x﹣1=x2﹣bx，即x2﹣（b+1）x+1=0，‎ ‎∴△=（b+1）2﹣2=0，解得b=﹣1，‎ 即实数b的值为﹣1．‎ ‎（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx，‎ ‎∴h′（x）=+x﹣b，‎ 根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，‎ ‎∴存在x＞0，使得+x﹣b＜0，即b＞+x，‎ 由于当x＞0时， +x≥2，‎ ‎∴b＞2．‎ ‎∴实数b 的取值范围（2，+∞）．‎ ‎（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=∈[，1]．‎ g′（x）=x﹣b∈[1﹣b，2﹣b]，‎ 要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，‎ 若用注意到f（x）是增函数，不妨设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），问题转化为|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|‎ 等价于﹣f（x1）+f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）从而f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）且f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），‎ 即f（x）﹣g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，‎ 利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，‎ 即＞|b﹣x|，于是x﹣≤b≤x+即（x﹣）max≤b≤（x+）min ‎∴≤b≤2．‎ 则b的取值范围[，2]．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是⊙O的割线，AC=AB ‎（1）证明：AC2=AD•AE；‎ ‎（2）证明：FG∥AC．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．‎ ‎【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．‎ ‎（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．‎ ‎【解答】证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线 所以AB2=AD•AE，‎ 又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…‎ ‎（2）由（1）得．‎ ‎∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，‎ ‎∴∠ADC=∠ACE．‎ ‎∵∠ADC=∠EGF，‎ ‎∴∠EGF=∠ACE，‎ ‎∴GF∥AC…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．‎ ‎（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；‎ ‎（Ⅱ）当φ=时，求三角形△OBC的面积．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（I）当φ∈，|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣），展开可与|OA相等|．φ∈∪时，同理可得．‎ ‎（II）φ=时，ρB=，ρC=4cos，φ+﹣（φ﹣）=．利用直角三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：当φ∈时，∴|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=4cosφ=|OA|．‎ φ∈∪时，同理可得．‎ ‎（II）解：φ=时，ρB==2，ρC=4cos=2，φ+﹣（φ﹣）=．‎ ‎∴三角形△OBC的面积==2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（Ⅰ） 求证：；‎ ‎（Ⅱ） 若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用分析法证明，两边平方，化简即可证得；‎ ‎（Ⅱ）用分析法证明，两边同乘以2，化简即可证得 ‎【解答】解：（Ⅰ）要证，‎ 只要证+＞+，‎ 只要证（+）2＞（+）2，‎ 只要证21+2＞21+2，‎ 只要证＞，‎ 只要证110＞108，显然成立，‎ 故；‎ ‎（Ⅱ）要证a2+b2+c2＞ab+bc+ca，‎ 只要证2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca，‎ 只要证2a2+2b2+2c2﹣2ab+2bc+2ca＞0，‎ 只要证（a﹣c）2+（a﹣b）2+（b﹣c）2＞0‎ ‎∴a，b，c是不全相等的实数，‎ ‎∴（a﹣c）2+（a﹣b）2+（b﹣c）2＞0，‎ ‎∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca ‎　‎ ‎2016年11月7日